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人教版八年級數學上冊12.3.1角的平分線的性質(第1課時).ppt

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人教版八年級數學 上冊12.3 角的平分線的性質 (第1課時)  問題1 在練習本上畫一個角,怎樣得到這個角的平分線?   追問1 你能評價這些方法嗎?在生產生活中,這 些方法是否可行呢?感悟實踐經驗,用尺規作角的平分線用量角器度量,也可用折紙的方法.   如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角,又該怎么辦呢?感悟實踐經驗,用尺規作角的平分線  追問2 下圖是一個平分角的儀器,其中AB =AD,BC =DC,將點A 放在角的頂點,AB 和AD 沿著角的兩邊放下,沿AC 畫一條射線AE,AE 就是∠DAB 的平分線.你能說明它的道理嗎? ABDCE 證明: 在△ACD和△ACB中 AD=AB(已知) DC=BC(已知) CA=CA(公共邊) ∴ △ACD≌ △ACB(SSS) ∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的 對應邊相等) ∴AC平分∠DAB(角平分線的定義)ADBCE感悟實踐經驗,用尺規作角的平分線利用尺規作角的平分線的具體方法: ABOMNC 追問4 你能說明為什么射線OC 是∠AOB 的平分線嗎?已知: ∠AOB(如圖)求作: ∠AOB的角平分線OC.在△OMC和△ONC中   OM=ON   MC=NC   OC=OC∵△OMC≌△ONC (SSS)∴∠AOC=∠BOC即:OC 是∠AOB的角平分線. 1、以O為圓心,適當長為半徑作弧,交OA于M,交OB于N。2、分別以M、N為圓心,大于 的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內部交于點C。3、畫射線OC,射線OC即為所求。作法:ABOCNM證明:連結MC,NC由作法知:1〉平分平角∠AOB2〉通過上面的步驟,得到射線OC以后,把它反向延長得到直線CD,直線CD與直線AB是什么關系? 3〉結論:作平角的平分線即可平分平角,由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法。ABOCD經歷實驗過程,發現并證明角的平分線的性質  如圖,任意作一個角∠AOB,作出∠A的平分線OC,在OC 上任取一點P,過點P 畫出OA,OB 的垂線,分別記垂足為D,E,測量 PD,PE 并作比較,你得到什么結論? P48 思考 利用尺規我們可以作一個角的平分線,那么角的平分線有什么性質呢? ABOPCDE經歷實驗過程,發現并證明角的平分線的性質  問題2 利用尺規我們可以作一個角的平分線,那么角的平分線有什么性質呢?   在OC 上再取幾個點試一試. 通過以上測量,你發現了角的平分線的什么性質?ABOPCDE猜想:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.  已知:∠AOC = ∠BOC,點 P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分別為D,E. 求證:PD =PE.經歷實驗過程,發現并證明角的平分線的性質  追問1 通過動手實驗、觀察比較,我們發現“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”,你能通過嚴 格的邏輯推理證明這個結論嗎?ABOPCDE證明:∵OC平分∠ AOB (已知) ∴ ∠1= ∠2(角平分線的定義) ∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB(已知) ∴ ∠PDO= ∠PEO(垂直的定義) 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO(已證) ∠1= ∠2 (已證) OP=OP (公共邊) ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE(全等三角形的對應邊相等) PAOBCED12已知:如圖,OC平分∠AOB,點P在OC上,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E求證: PD=PE探究角平分線的性質角平分線的性質定理:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等用符號語言表示為:AOBPED12∵∠1= ∠2, PD ⊥OA ,PE ⊥OB ∴PD=PE.題設:一個點在一個角的平分線上結論:它到角的兩邊的距離相等  追問2 由角的平分線的性質的證明過程,你能概 括出證明幾何命題的一般步驟嗎?(1)明確命題中的已知和求證;(2)根據題意,畫出圖形,并用數學符號表示已知和 求證;(3)經過分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證 明過程.經歷實驗過程,發現并證明角的平分線的性質 練習1 下列結論一定成立的是 .(A)如圖,OC 平分∠AOB,點P 在OC 上,D,E 分 別為OA,OB 上的點,則PD =PE.(B)如圖,點P 在OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分別為D,E,則PD =PE.(C)如圖,OC 平分∠AOB,點P 在OC 上,PD⊥OA, 垂足為D.若PD =3,則點P 到OB 的距離為3.ABOPCDE(C)如圖,E是∠AOB的角平分線OC上的一點, EM⊥OB垂足為M,且EM=3cm,求點E 到OA的距離解:過E作EN⊥OA于點N∵ E是∠AOB的角平分線上的一點, EM⊥OB, EN⊥OA,∴EM=EN又∵ EM=3cm,∴EN=EM=3cm即點E 到OA的距離為3cm。EBOACMNBOAC·DPE1.如圖,OC是∠AOB的平分線, ∵∴PD=PEPD⊥OA,PE⊥OB已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB = FC. BAEDCF◆證明: ∵AD平分∠CAB。DE⊥AB ,DF⊥AC ∴DE=DF (角平分線的性質)   BD=CD (已證) DE=DF (已知) ∴ Rt△ BED ≌Rt△CFD (HL) ∴ EB=FC (全等三角形對應邊相等)課本P51 第2題 鞏固角的平分線的性質證明:∵ AD平分∠CAB, D是AD上一點(已知) 如圖:在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=FD; 求證:CF=EB∵DE⊥AB,DC⊥AC(已知)在Rt△CDF和Rt△EDB 中  BD=FD (已知)  DC=DE(已證)∴Rt △CDF≌Rt△EDB (HL)∴CF=EB(全等三角形對應邊相等)ACDEBF∴DC=DE(角平分線的性質)BACPMN解決簡單問題,鞏固角的平分線的性質  例 如圖,△ABC 的角平分線BM,CN 相交于點P.求證:點P到三邊AB,BC,CA 的距離相等.證明:過點P作PD,PE,PF分別垂直于AB,BC,CA,垂足為D、E、F,BACPDEFMN∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上,PD⊥AB, PE⊥BC∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即點P到三邊AB,BC,CA的距離相等2.如圖,在△ABC中,AC⊥BC,AD為∠BAC的平分線,DE⊥AB,AB=7㎝,AC=3㎝,求BE= CM.EDCBA43.如圖,在△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC交BC于點D,若BC=8,BD=5,則點D到AB的距離為_____ACDBE3A0BMNPC4.如圖,OC平分∠AOB, PM⊥OB于點M,PN⊥OA于點N, △POM的面積為6,OM=6,則PN=_______。2*5.如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=CB,AD為∠BAC的平分線,DE⊥AB于點E。求證:△DBE的周長等于AB。ABCDE課本P51 第2、5題.布置作業
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平分線 12 12.3.1 數學上 性質 八年 課時
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