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舉一反三 索新題.doc

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?舉一反三 探索新題蘇州大學 周士藩有這樣一道操作題:將6×4(單位:厘米)的小方格矩形紙,沿著格線剪去一個正方形后,剩下來的新圖形的周長與這張矩形紙的面積在數值上相等,而且新圖形的面積與這張矩形紙的周長在數值上也相等,那么剪去的正方形邊長是多少?怎樣剪法(試舉一例)?分析與解 因為矩形紙的面積是24平方厘米,周長是20厘米,據題意剪剩下來的新圖形的周長應是24厘米,面積應是20平方厘米。所以剪去的正方形面積應是(24-20)=4平方厘米,可見這個正方形的邊長是2厘米。由圖1所示,剪去的正方形不可能剪在矩形紙的角上,因為剪剩下來的新圖形的周長沒有增加4厘米,所以剪去的2×2的正方形只能在矩形紙的一條邊上,如圖2與圖3所示。經驗算,兩個圖形的面積都是20平方厘米,周長都是24厘米?,F在我們把上題改成下面更一般的問題:將m×n(單位:厘米)的小方格矩形紙,沿著格線剪去一個正方形后,剩下來的新圖形的周長與這張矩形紙的面積在數值上相等,而且新圖形的面積與這張矩形紙的周長在數值上也相等,那么剪去的正方形的邊長是多少?這張矩形紙可能有幾種規格?試各舉一種符合題意的剪法。分析與解 設剪去的正方形的邊長是x厘米,根據上題的解法,可以知道剪去的正方形不能剪在矩形紙的角上,只能剪在矩形紙的一條邊上。注意到,剪剩下來的新圖形(如圖4)的面積應是,周長應是,根據題設條件可得如下兩個等式:圖4由①+②得,經整理得,所以(舍去),這就是說,剪去的正方形邊長是2厘米;將x=2代入②式,經整理得,于是③,因為m,n都是正整數,所以由③式及題意可知也都是正整數,所以有或或,由此可以解得:。這就是說,共有兩種規格的小方格矩形紙6×4,10×3。對6×4的剪法,見圖2,3。對10×3的剪法,見圖5。圖5
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