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2013-數理統計復習題.doc

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?補充內容§2 參數的點估計例2.1 設總體服從泊松分布X~P(l),X1,X2,…,Xn為來自X的樣本,求l的矩估計量與的極大似然估計?! 〗?因E(X)=l,D(X)=l.。所以l的矩估計量為或。X~P(l),其分布律為 =, x=0,1,2,?   設x1,x2,…,xn為樣本觀察值,則似然函數=  令 ,解得l的極大似然估計 ?! ±?.2 設總體X的概率密度函數為,其中為未知參數,X1,X2,…,Xn為來自X的樣本,試求的矩估計與極大似然估計?! 〗?因為   令,解得q 的矩估計量為。似然函數,  令解得的極大似然估計 練習題2.1 從一批電子元件中抽取8個進行壽命測驗,得到如下數據(單位:h):1050 1100 1130, 1040, 1250, 1300, 1200, 1080試對這批元件的平均壽命以及壽命分布的標準差給出矩估計. 2.2 設X1,X2,…,Xn是容量為n的樣本,試分別求總體未知參數的矩估計量與極大似然估計量。已知總體的分布密度如下:   (1) f(x;a)=(a+1)xa,0<x<1其中a是未知參數  (2) ,其中為未知參數; §3 區間估計 例3.1 一車間生產滾珠直徑服從正態分布,從某天的產品里隨機抽取6個,測得直徑為(單位:mm)14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1若該天產品直徑的方差s2=0.06,求該天生產的滾珠平均直徑μ的置信區間(a=0.01;a=0.05)?! 〗?因為s2=0.06,由式(2.2.2)知m的1-a的置信區間為?! ‘攁=0.01時,查正態分布表得=2.58,計算得將 s2=0.06, n=6,u0.005=2.58,代入上述置信區間,得m的99%置信區間為(14.95-,14.95+)=(14.69, 15.21)   當a=0.05時,查正態分布表得=1.96,類似求得m的95%的置信區間為(14.75,15.15)。例3.2 水體中的污水和工業污染的多少會通過減少水中被溶解的氧氣而影響水體的水質,生物的生長與生存有賴于正中氧氣。兩個月內,從污水處理廠下游1英里處的一條小河里取得8個水樣。檢測水樣里溶解的氧氣含量,數據列表2.2.1。表2.2.1水樣12345678n氧(ppm)5.14.95.64.24.84.5 5.35.28根據最近的研究,為了保證魚的生存,水中溶解的氧氣的平均含量需達到百萬分之五,即5.0ppm.試求兩個月期間平均氧氣含量的95%的置信區間(假定樣本來自正態總體)?! 〗?s2未知,所以由式(2.2.3)知m的1-a置信區間為,由已知n=8,1-a=0.95,查附表2得t0.025(7)=2.3646,由樣本計算得=4.95,S=0.45,故m的1-a的置信區間為(4.78,5.12)。例3.3 從自動機床加工的同類零件中隨機地抽取10件測得其長度值為(單位:mm)12.15 , 12.12, 12.10 , 12.28 , 12.09, 12.16 , 12.03 , 12.01 , 12.06 ,12.11 .假定樣本來自正態總體,試求方差s2的95%的置信區間?! 〗?已知 a=0.05,查附表3得, , 又由已知數據算得 S=0.076, 于是, ,所以,方差s2的95%的置信區間是=[0.003,0.019]。練習題2.3 某鄉農民在聯產承包責任制前,人均純收入X~N(300,252)(單位:元),推行聯產承包責任制后,在該鄉抽得n=16的樣本得 元,假設沒有變化,試確定μ的95%的置信區間。2.4 為了估計一分鐘一次廣告的平均費用,抽取了15個電臺作為一個簡單隨機樣本,算得樣本均值元,樣本標準差S=416。假定一分鐘一次的廣告費X~N(m,s2),試求m的0.95的置信區間.2.5 1990年在某市調查14戶城鎮居民,得平均戶人均購買食用植物油為標準差為S=1.67kg。假設人均食用植物油量,求(1)總體均值m的95%的置信區間; (2)總體方差的90%的置信區間?!? 參數假設檢驗  例4.1 正常人的脈搏平均每分鐘72次,某醫生測得10例四乙基鉛中毒患者的脈搏數(次/分)如下54,67,68,78,70,66,67,65,69,70已知人的脈搏次數服從正態分布,試問四乙基鉛中毒患者的脈搏和正常人的脈搏有無顯著差異?(a=0.05)  解 以X表示脈搏次數,依題意設X~N(m,s2) (s2未知),要檢驗假設H0:m=72, H1:m172?! ∮墒?3.2)知H0的拒絕域為   由樣本算得 查表故拒絕H0,認為乙基鉛中毒患者的脈搏和正常人的脈搏有顯著差異?! ±?.3 某工廠生產的保健飲料中游離氨基酸含量(mg/100ml)在正常情況下服從正態分布N(200,252)。某生產日抽測了6個樣品,得數據如下:205,170,185,210,230,190試問這一天生產的產品游離氨基酸含量的總方差是否正常?! 〗?建立原假設H0:  由a=0.05,n=6,查附表3得,由樣本均值算得,所以,由于,故接受H0,即這一天生產的產品中游離氨基酸含量的總體方差正常?! ☆愃朴诰档臋z驗,方差也有單邊檢驗的問題,見表3.2.1。例 4.4 一個混雜的小麥品種,株高標準差s0=14(cm),經提純后隨機抽取10株,株高(單位:cm)為:90,105,101,95,100,100,101,105,93,97,考察提純后的群體是否比原來群體整齊?(a=0.01)  解 已知小麥株高服從正態分布,現在要檢驗假設  小麥經提純后株高只能更整齊,不會變得更離散,即s2不會大于142?,F取a=0.01,檢驗統計量選為,由附表3知,得H0的拒絕域為,由樣本算得在拒絕域內,故拒絕H0接受H1,即提純后的株高高度更整齊。練習題3.1 某磚廠生產的磚頭的抗斷強度X(105Pa)服從正態分布,設方差s2=1.21,從產品中隨機地抽取6塊,測得抗斷強度值為32.66,29.86,31.74,30.15,32.88,31.05試檢驗這批磚頭的平均抗斷強度是否為32.50′105Pa (a=0.05)?3.2 某批礦砂的5個樣品中的鎳含量,經測定為(%):3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24, 設測定值總體服從正態分布,但參數均未知。問在a=0.01下能否接受假設:這批礦砂的鎳含量的均值為3.25。3.7 假定考生成績服從正態分布,在某地一次數學統考中,隨機抽取了36位考生的成績,算得平均成績為66.5分,標準差為15分,問在顯著水平0.05下,是否可以認為這次考試全體考生的平均成績70分?3.8考察一魚塘中的含汞量,隨機地取10條魚測。省略部分。越好。根據生產經驗和專業技術人員的分析,影響煙灰磚折斷力主要有成型水分、碾壓時間和一次碾壓料重三個因素,每個因素分別取了三個水平進行試驗,得因素水平表見表6.2.1。表6.2.1 因素水平表因素水平成型水分A(%)碾壓時間B(分)一次碾壓料重C(公斤)1873402101037031213400表6.3.1 煙灰磚折斷力試驗安排與結果運算分析表因素ABC空列試驗結果列號試驗號1234xi11(8)1(7)1(340)116.8212(10)2(370)218.9313(13)3(400)316.542(10)12318.85223123.46231220.273(12)13226.28321321.99332124.1T152.261.858.964.3T=186.8T262.464.261.865.3T372.260.866.157.2優水平323R203.47.2主次順序ACB  表6.3.4 煙灰轉折斷力試驗結果的方差分析表方差來源偏差平方和自由度方差F值Fa顯著性因素A66.6756233.33788.4092F0.05(2,6)=5.14顯著因素B*2.035621.01780.2567F0.01(2,6)=10.92因素C8.748924.37441.1034誤差e*13.002226.50111.6399誤差e23.786763.9644總和90.46228由表6.3.4可見,因素A顯著,因素B,C不顯著,因素作用的主次順序是ACB。例6.4.3 某廠生產水泥花磚,其抗壓強度取決于三個因素:A水泥的含量,B水分,C添加劑,每個因素都有兩個水平,具體數值如表6.4.5所示。表6.4.5 因素水平表因素水平水泥含量A水分B添加劑C1602.51.1:12803.51.2:1每兩個因素之間都有交互作用,必須考慮。試驗指標為抗壓強度(kg/cm2),越高越好?! 〗狻∵x用正交表L8(27)安排試驗得試驗方案及試驗結果見表6.4.6。表6.4.6 試驗方案及試驗結果分析表列號試驗號ABA′BCA′CB′C抗壓強度(kg/cm2)123456711(60)1(2.5)11 (11:1)11166.221112 (12:1)22274.3312(3.5)2112273.04122221176.452(80)12121270.26212212175.07221122162.38221211271.2T1289.9285.7274271.7285.4284279.9T2287.7282.9294296.9283.2284.6288.7優水平112極差R值11.22.820.625.22.20.6主次順序C→A×B→A→B→A×C→B×C因素A、B的二元表   'A\B' 'B1' 'B2'    'A1' [140.5] [149.4]   'A2' [145.2] [133.5]由二元表可見,A1B2試驗指標值較高,為優搭配,所以最優水平組合為A1B2C2。即水泥含量60,水分3.5,添加劑12:1時,抗壓強度最高。方差分析表由方差分析表可見,因素C、交互作用A′B顯著,其他均不顯著。習題66.2 啤酒酵母最適自溶條件試驗  自溶酵母提取物是一種多用途食品配料。為探討外加中型蛋白酶方法,需作啤酒酵母的最適自溶條件試驗。試通過正交試驗尋找最優工藝條件,因素水平表6.3所示。表6.3 啤酒酵母最適自溶條件因素水平表 水平 因素溫度A(°C)pH值B加酶量C(%)1506.52.02557.02.43587.52.8  選用L9(34)安排試驗,試驗方案及試驗結果見表6.4。表6.4 啤酒酵母最適自溶條件試驗方案及試驗結果列號試驗號1234111116.25212224.97313334.45421237.53522315.54623125.507313211.48321310.9933218.956.4 用石墨爐原子吸收分光光度試驗  用石墨爐原子吸收分光光度法測定食品中的鉛,為了提高測定靈敏度,希望吸光度越大越好,今欲研究影響吸光度的因素,確定最佳測定條件。因素水平表如表6.7所示。表6.7 因素水平表因素水平灰化溫度A(°C)原子化溫度B(°C)燈電流C(mA)1300180082700240010根據試驗經驗知道,三個試驗因素之間可能存在交互作用?! ∵x用L8(27)安排試驗,試安排試驗方案,并作結果分析6.8。 表6.8 試驗方案及試驗結果表列號試驗號吸光度1234567111111110.242211122220.224312211220.266412222110.258521212120.236621221210.240722112210.279822121120.276
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