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2011中考沖刺數學專題12――方案設計問題.doc

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?2011中考沖刺數學專題12——方案設計問題【備考點睛】方案設計問題是指解決問題的方案決策問題。同一個問題往往有多種不同的解決方案,但其中最科學、合理的方案常常僅有一種。隨著課程改革的全面展開和逐步深化,有利于考察學生創新意識和實踐能力的方案設計問題已經成為中考命題的一大熱點.方案設計問題大多取材于生活背景,富有濃厚的生活氣息,能夠讓學生充分體驗數學知識的應用價值,有利于激發學生學習數學的樂趣和學好數學的動力,因此,這類問題必然在中考中盛久不衰,它的出現改變了學生以往只依賴于模仿和記憶的“重結果,輕過程”的學習方式,有利于培養學生重視動手操作和實踐活動,更為重要的是能夠讓學生養成用數學的意識?!窘浀淅}】類型一 利用不等式進行設計例題1 (2010 福建德化)某商店需要購進甲、乙兩種商品共160件,其進價和售價如下表:(注:獲利=售價-進價)(1)若商店計劃銷售完這批商品后能獲利1100元,問甲、乙兩種商品應分別購進多少件?(2)若商店計劃投入資金少于4300元,且銷售完這批商品后獲利多于1260元,請問有哪幾種購貨方案? 并直接寫出其中獲利最大的購貨方案.甲乙進價(元/件)1535售價(元/件)2045解答:(1)設甲種商品應購進x件,乙種商品應購進y件. 根據題意,得 解得: 答:甲種商品購進100件,乙種商品購進60件. (2)設甲種商品購進a件,則乙種商品購進(160-a)件.根據題意,得 解不等式組,得 65<a<68 . ∵a為非負整數,∴a取66,67.∴ 160-a相應取94,93. 答:有兩種構貨方案,方案一:甲種商品購進66件,乙種商品購進94件;方案二:甲種商品購進67件,乙種商品購進93件.其中獲利最大的是方案一. 例題2 整頓藥品市場、降低藥品價格是國家的惠民政策之一.根據國家《藥品政府定價辦法》,某省有關部門規定:市場流通藥品的零售價格不得超過進價的15%.根據相關信息解決下列問題:(1)降價前,甲乙兩種藥品每盒的出廠價格之和為6.6元.經過若干中間環節,甲種藥品每盒的零售價格比出廠價格的5倍少2.2元,乙種藥品每盒的零售價格是出廠價格的6倍,兩種藥品每盒的零售價格之和為33.8元.那么降價前甲、乙兩種藥品每盒的零售價格分別是多少元? (2)降價后,某藥品經銷商將上述的甲、乙兩種藥品分別以每盒8元和5元的價格銷售給醫院,醫院根據實際情況決定:對甲種藥品每盒加價15%、對乙種藥品每盒加價10%后零售給患者.實際進藥時,這兩種藥品均以每10盒為1箱進行包裝.近期該醫院準備從經銷商處購進甲乙兩種藥品共100箱,其中乙種藥品不少于40箱,銷售這批藥品的總利潤不低于900元.請問購進時有哪幾種搭配方案?解答:(1)設甲種藥品的出廠價格為每盒x元,乙種藥品的出廠價格為每盒y元. 則根據題意列方程組得: 解之得: 5×3.6-2.2=18-2.2=15.8(元) 6×3=18(元)答:降價前甲、乙兩種藥品每盒的零售價格分別是15.8元和18元(2)設購進甲藥品x箱(x為非負整數),購進乙藥品(100-x)箱,則根據題意列不等式組得:解之得: 則x可?。?8,59,60,此時100-x的值分別是:42,41,40有3種方案供選擇:第一種方案,甲藥品購買58箱,乙藥品購買42箱;第二種方案,甲藥品購買59箱,乙藥品購買41箱;第三種方案,甲藥品購買60箱,乙藥品購買40箱; 類型二 利用二次函數進行設計例題3 (2010 河北)某公司銷售一種新型節能產品,現準備從國內和國外兩種銷售方案中選擇一種進行銷售.若只在國內銷售,銷售價格y(元/件)與月銷量x(件)的函數關系式為y =x+150,成本為20元/件,無論銷售多少,每月還需支出廣告費62500元,設月利潤為w內(元)(利潤 = 銷售額-成本-廣告費).若只在國外銷售,銷售價格為150元/件,受各種不確定因素影響,成本為a元/件(a為常數,10≤a≤40),當月銷量為x(件)時,每月還需繳納x2 元的附加費,設月利潤為w外(元)(利潤 = 銷售額-成本-附加費).(1)當x = 1000時,y = 元/件,w內 = 元;(2)分別求出w內,w外與x間的函數關系式(不必寫x的取值范圍);(3)當x為何值時,在國內銷售的月利潤最大?若在國外銷售月利潤的最大值與在國內銷售月利潤的最大值相同,求a的值;(4)如果某月要將5000件產品全部銷售完,請你通過分析幫公司決策,選擇在國內還是在國外銷售才能使所獲月利潤較大?參考公式:拋物線的頂點坐標是.解答:(1)140 57500;(2)w內 = x(y -20)- 62500 = x2+130 x,w外 = x2+(150)x.(3)當x = = 6500時,w內最大;分由題意得 , 解得a1 = 30,a2 = 270(不合題意,舍去).所以 a = 30. (4)當x  = 5000時,w內 = , w外 =.若w內 < w外,則a<32.5;若w內 = w外,則a = 32.5;若w內 > w外,則a>32.5.所以,當10≤ a <32.5時,選擇在國外銷售;當a = 32.5時,在國外和國內銷售都一樣;例題4 (2010湖北恩施)恩施州綠色、富硒產品和特色農產品在國際市場上頗具競爭力,其中香菇遠銷日本和韓國等地.上市時,外商李經理按市場價格10元/千克在我州收購了2000千克香菇存放入冷庫中.據預測,香菇的市場價格每天每千克將上漲0.5元,但冷庫存放這批香菇時每天需要支出各種費用合計340元,而且香菇在冷庫中最多保存110天,同時,平均每天有6千克的香菇損壞不能出售.(1)若存放天后,將這批香菇一次性出售,設這批香菇的銷售總金額為元,試寫出與之間的函數關系式.(2)李經理想獲得利潤22500元,需將這批香菇存放多少天后出售?(利潤=銷售總金額-收購成本-各種費用)(3)李經理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤?最大利潤是多少? 解答:(1)由題意得與之間的函數關系式為==(≤≤110,且為整數) (2)由題意得:-10×2000-340=22500 解方程得:=50 =150(不合題意,舍去)李經理想獲得利潤2250元需將這批香菇存放50天后出售。 (2)設最大利潤為,由題意得=-10 ×2000-340當時,100天<110天· 存放100天后出售這批香菇可獲得最大利潤30000元.類型三 利用幾何知識進行設計例題5.(2010湖北恩施自治州)(1)計算:如圖①,直徑為的三等圓⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切,切點分別為A、B、C ,求OA的長(用含的代數式表示).(2)探索:若干個直徑為的圓圈分別按如圖②所示的方案一和如圖③所示的。省略部分。(3)設購買魚苗的總費用為y,則 由題意,有 解得: 在中 ∵,∴y隨x的增大而減少 ∴當時,. 即購買甲種魚苗2400尾,乙種魚苗3600尾時,總費用最低.5.【答案】 (1) 樹狀圖如下: 列表如下:共有6種選購方案:(高,精),(高,簡),(中,精),(中,簡),(低,精),(低,簡).  (2) 因為先選中高檔粽子有2種方案,即(高,精)(高,簡),所以高檔粽子被選中的概率是(3) 由(2)可知,當選用方案(高,精)時,設購買高檔粽子、精裝粽子分別為,盒,根據題意,得 解得經檢驗不符合題意,舍去;當選用方案(高,簡)時,設購買高檔粽子、簡裝粽子分別為,盒,根據題意,得解得﹛答:該中學購買了14盒高檔粽子.6.【答案】測量方案不唯一,如:⑴用量角器分別量出∠A、∠B的大?、朴贸咦恿砍鯝B的長,根據這三個數據加工的地磚能符合要求,理由是用“邊角邊公理”得不予考慮這兩個三角形全等。7.【答案】(1)設改造一的A類學校的校舍需資金x萬元,改造一所B類學校的校舍需資金y萬元,則 解之得答:設改造一的A類學校的校舍需資金90萬元,改造一所B類學校的校舍需資金130萬元。(2)設A類學校應該有a所,則B類學校有(8-a)所,則解得所以1≤a≤3即a=1,2,3答:有三種方案。方案一:A類學校1所,B類學校7所方案二:A類學校2所,B類學校2所方案三:A類學校3所,B類學校5所8.【答案】(1)解:設每個書包的價格為x元,則每本詞典的價格為(x-8)元.根據題意得: 3 x +2(x-8)=124 解得:x=28. ∴ x-8=20. 答:每個書包的價格為28元,每本詞典的價格為20元. (2)解:設昀買書包y個,則購買詞典(40-y)本.根據題意得: 解得:10≤y≤12.5. 因為y取整數,所以y的值為10或11或12.所以有三種購買方案,分別是:①書包10個,詞典30本; ②書包11個,詞典29本;③書包12個,詞典28本.9.【答案】(1) 種小麥需 10×60%=6畝,種種玉米、黃豆共4畝,黃豆種植面積為(4-x)畝,=;(2)x取正整數,所以x可取0、1、2、3、4共有5種方案; (3) y隨x的增大而增大,所以當x=4時,y最大,最大為7200元。10.【答案】(1)由題意,裝運A種西瓜的車數為x,裝運B種西瓜的車數為y, 則裝運C種西瓜的車數為(40-x-y). 則有:4x+5y+6(40-x-y) =200整理得:y=40-2x由(1)知,裝運A、B、C三種西瓜的車數 種類方案ABC方案一(輛)102010方案二(輛)111811方案三(輛)121612方案四(輛)131413方案五(輛)141214方案六(輛)151015分別為x、40-2x、x由題意得, ,解得10≤x≤15∵x為整數,∴x的值是10、11、12、13、14、15∴安排方案有6種:(3)設利潤為W(百元),則 W=4x×16+5(40-2x)×10+6x×12=2000+36x由已知得:2000+36x≥2500 ,∴x≥13則x=14或15,故選方案五或方案六。11. 方案(1) 畫法1:(1)過F作FH∥AD交AD于點H;(2)在DC上任取一點G連接EF、FG、GH、HE,則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形;畫法2:(1)過F作FH∥AB交AD于點H;(2)過E作EG∥AD交DC于點G連接EF、FG、GH、HE,則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形畫法3:(1)在AD上取一點H,使DH=CF;(2)在CD上任取一點G連接EF、FG、GH、HE,則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形方案(2)畫法:(1)過M點作MP∥AB交AD于點P,(2)在AB上取一點Q,連接PQ,(3)過M作MN∥PQ交DC于點N,連接QM、PN、MN則四邊形QMNP就是所要畫的四邊形12.(1)設甲、乙兩隊單獨完成此項工程分別需要x天,y 天.根據題意得 解這個方程組得x=30,y=120 .經檢驗x=30,y=120是方程組的解.(2)設單獨完成此項工程,甲需費用m萬元,乙需費用n萬元,根據題意,得 解這個方程組得m=135,n=60 .13. 解:(1)設改造一所類學校和一所類學校所需的改造資金分別為萬元和萬元.依題意得: 解之得 答:改造一所類學校和一所類學校所需的改造資金分別為60萬元和85萬元.(2)設該縣有、兩類學校分別為所和所.則∵類學校不超過5所 ∴∴即:類學校至少有15所. (3)設今年改造類學校所,則改造類學校為所,依題意得:解之得 ∵取整數∴即:共有4種方案.14.方法一解:(1)abccccbbbaaa(2)證明:大正方形的面積表示為大正方形的面積也可表示為,,.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.方法二解:(1)abc(2)證明:大正方形的面積表示為:, 又可以表示為:,,.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 15. 解:(1)理由如下:∵扇形的弧長=16×=8π,圓錐底面周長=2πr,∴圓的半徑為4cm. 由于所給正方形紙片的對角線長為cm,而制作這樣的圓錐實際需要正方形紙片的對角線長為cm,,∴方案一不可行. (2)方案二可行.求解過程如下:設圓錐底面圓的半徑為rcm,圓錐的母線長為Rcm,則, ① . ② 由①②,可得,.故所求圓錐的母線長為cm,底面圓的半徑為cm. 16. 解:如圖(a)、圖(b)、圖(c).圖(a)圖(b)圖(c)17. 解:設搭配A種造型x個,則B種造型為個,依題意,得:解得:,∴∵x是整數,x可取31、32、33,∴可設計三種搭配方案:①A種園藝造型31個,B種園藝造型19個;②A種園藝造型32個,B種園藝造型18個;③A種園藝造型33個,B種園藝造型17個.(2)方法一:由于B種造型的造價成本高于A種造型成本.所以B種造型越少,成本越低,故應選擇方案③,成本最低,最低成本為:33×800+17×960=42720(元)方法二:方案①需成本:31×800+19×960=43040(元);方案②需成本:32×800+18×960=42880(元);方案③需成本:33×800+17×960=42720(元);∴應選擇方案③,成本最低,最低成本為42720元.
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12 方案 數學 專題 沖刺 設計 問題 2011
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