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1978-1982年高考數學試題全國卷.doc

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? 中國大方題庫網1978年試題注意事項:1.理工科考生要求除作(一)--(四)題和(七)題外,再由(五)、(六)兩題中選作一題.文科考生要求作(一)--(四)題,再由(五)、(六)兩題中選作一題;不要求作第(七)題.2.考生解題作答時,不必抄題.但須準確地寫明題號,例如(一)2、(五)等.(一)1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.2.已知正方形的邊長為a.求側面積等于這個正方形的面積、高等于這個正方形邊長的直圓柱體的體積.(二)已知方程kx2+y2=4,其中k為實數.對于不同范圍的k值,分別指出方程所代表圖形的類型,并畫出顯示其數量特征的草圖.(三)(如圖)AB是半圓的直徑,C是半圓上一點,直線MN切半圓于C點,AM⊥MN于M點,BN⊥MN于N點,CD⊥AB于D點.求證:1)CD=CM=CN; 2)CD2=AM·BN.(四)已知log189=a(a≠2),18b=5.求log3645.(五)(本題和第(六)題選作一題)已知△ABC的三內角的大小成(六)已知α、β為銳角,且 3sin2α+2sin2β=1, 3sin2α-2sin2β=0.(七)(文科考生不要求作此題)已知函數y=x2+(2m+1)x+m2-1(m為實數).(1)m是什么數值時,y的極值是0?(2)求證:不論m是什么數值,函數圖象(即拋物線)的頂點都在同一條直線l1上.畫出m=-1、0、1時拋物線的草圖,來檢驗這個結論.(3)平行于l1的直線中,哪些與拋物線相交,哪些不相交?求證:任一條平行于l1而與拋物線相交的直線,被各拋物線截出的線段都相等.1978年試題答案(一)1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2 =(x-2y)2-(2z)2 =(x-2y-2z)(x-2y+2z).2.解:設直圓柱體的底面半徑為r.則底面周長2πr=a.3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1. x≥-1為所求的定義域.(二)解:(注意:只要求考生作出全面而正確的分析,不要求寫法和本題解完全一致.)(三)證明:1)連CA、CB,則∠ACB=90°.∠ACM=∠ABC(弦切角等于同弧上的圓周角),∠ACD=∠ABC(同角的余角相等),∴ ∠ACM=∠ACD.∴ △ACM≌△ADC.∴ CM=CD.同理 CN=CD.∴ CD=CM=CN.2)∵ CD⊥AB,∠ACB=90°, ∴ CD2=AD·DB(比例中項定理).由1),可知 AM=AD,BN=BD,∴ CD2=AM·BN.(四)解法一:∵log189=a,∴18a=9.又 18b=5,∴ 45=9×5=18a·18b=18a+b,設 log3645=x,則36x=45=18a+b,∴ log1836x=log1818a+b但 36=2×18=4×9,∴ log18(2×18)=log18(22×9).即 1+log182=2log182+log189=2log182+a.∴ log182=1-a.以下解法同解法一.(五)解:A+B+C=180°,又 2B=A+C.∴ 3B=180°,B=60°,A+C=120°.以下同證法一.(七)解:(1)用配方法得此即各拋物線頂點坐標所滿足的方程.它的圖形是一條直線,方程中不當m=-1、0、1時,x,y之間的函數關系為分別作出它們的圖象P1、P2、P3. 它們的頂點都在直線l1上. (3)設l:x-y=a為任一條平行于l1的直線.與拋物線y=x2+(2m-1)x+m2-1方程聯立求解.消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0. ∴ (x+m)2=1-a.因而當1-a≥0即a≤1時,直線l與拋物線相交,而1-a1時,直線l與拋物線不相交.即直線l與拋物線兩交點橫坐標為因直線l的斜率為1,它的傾斜角為45°. ∵ 直線l被拋物線截出的線段等于而這與m無關.因此直線l被各拋物線截出的線段都相等._中國大方題庫網1979年試題理工農醫類1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求證:x,y,z成等差數列.2.化簡:3.甲、乙二容器內都盛有酒精.甲有公斤υ1公斤,乙有υ2公斤.甲中純酒精與水(重量)之比為m1:n1,乙中純酒精與水之比為m2:n2.問將二者混合后所得液體中純酒精與水之比是多少?4.敘述并且證明勾股定理.5.外國般只,除特許者外,不得進入離我海岸線D以內的區城.設A及B是我們的觀測站,A及B間的距離為S,海岸線是過A,B的直線.一外國船在P點.在A站測得∠BAP=α,同時在B站測得∠ABP=β.問α及β滿足什么簡單的三角函數值不等式,就應當向此未經特許的外國船發出警告,命令退出我海城?6.設三棱錐V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.求證:△ABC是銳角三角形. 7.美國的物價從1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物價增長率相同,問每年增長百分之幾?(注意:自然對數1nx是以e=2.718…為底的對數.本題中增長率xr>0).(1)用p,q,r,n表示bn,并用數學歸納法加以證明;1982年試題(理工農醫類)答案一、本題考查對函數定義域的理解和表示實數范圍的方法.解:(1)x=0(或{0}等)(2)x為任意實數(或R;或(-∞,+∞);或-∞<x<+∞等)(3)x為任意實數(或R;或(-∞,+∞);或-∞<x0(或(0,+∞);或0<x0的一切實數;或x是正實數;或{x│x>0;或{x│x>0}等)(6)x為任意實數(或R;或(-∞,+∞);或-∞<xh>0,五、本題考查絕對值概念,對數函數的性質及兩個實數比較大小的方法.解法一:當a>1時,│loga(1-x)│=-loga(1-x),│loga(1+x)│=loga(1+x),= -[loga(1-x)+loga(1+x)]=-loga(1-x2).∵ a>1,0<1-x20,∴ │loga(1-x)│>│loga(1+x)│.當0<a<1時,│loga(1-x)│=loga(1-x),│loga(1+x)│=-loga(1+x),│loga(1-x)│-│loga(1+x)│=loga(1-x)+loga(1+x)=loga(1-x2).∵ 0<a<1,0<1-x20,∴ │loga(1-x)│>│loga(1+x)│.因此當0<x0,a≠1時總有解法二:∵ 1+x>1,0<1-x1,0<1-x2<1,log1+x(1-x2)1,六、本題考查用極坐標求軌跡方程,三角恒等式的運用,由極坐標方程化為直角坐標方程及判斷二次曲線的類型等能力.解:設P點的極坐標為(ρ,θ),∴ ∠POM=α-θ,∠NOP=α+θ,OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),四邊形PMON的面積依題意,動點P的軌跡的極坐標方程是:用倍角公式化簡得 用和、差角公式或和差化積公式化簡得用x=ρcosθ,y=ρsinθ化為直角坐標方程:上式化為這個方程表示雙曲線.根據題意,動點P的軌跡是雙曲線右面一支在∠AOB內的一部分.七、本題考查立體幾何的一些基本概念,空間圖形的想象能力和平面幾何的一些基本知識.解:連結AC.在△ABC中,∵AM=MB,CN=NB,∴MN∥AC.在△ADC中,∵AQ=QD,CP=PD,∴QP∥AC∴MN∥QP.同理,連結BD可證MQ∥NP.∴ MNPQ是平行四邊形.取AC中點K,連BK,DK.∵ AB=BC,∴BK⊥AC,又∵ AD=DC,∴DK⊥AC.因此平面BKD與AC垂直.∵ BD在平面BKD內,∴BD⊥AC.∵ MQ∥BD,QP∥AC,∴MQ⊥QP,即∠MQP為直角.前面已證MNPQ是平行四邊形,今又有一內角為直角,因此MNPQ是矩形.八、本題考查有關拋物線切線的知識,運算能力及邏輯思維的能力.解:不失一般性,設p>0,q>0.設y2=2px的內接三角形頂點為A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3).因此依題意,設A1A2,A2A3與拋物線x2=2qy相切,要證A3A1也與拋物線x2=2qy相切.因為x2=2qy在原點O處的切線是y2=2px的對稱軸,所以原點O不能是所設內接三角形的頂點.即(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都不能是(0,0);又因A1A2與x2=2qy相切,所以A1A2不能與y軸平行,即x1≠x2,y1≠-y2,直線A1A2的方程是A1A2與拋物線x2=2qy交點的橫坐標滿足由于A1A2與拋物線x2=2qy相切,上面二次方程的判別式化簡得 2p2q+y1y2(y1+y2)=0. (Ⅰ)同理由于A2A3與拋物線x2=2qy相切,A2A3也不能與y軸平行,即x2≠x3,y2≠-y3,同樣得到2p2q+y2y3(y2+y3)=0 (Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅱ)兩方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.由上式及y2≠0,得y3≠-y1,也就是A3A1也不能與y軸平行.今將y2=-y1-y3代入(Ⅰ)式得:2p2q+y3y1(y3+y1)=0 (Ⅲ)(Ⅲ)式說明A3A1與拋物線x2=2qy的兩個交點重合,即A3A1與拋物線x2=2qy相切.所以只要A1A2,A2A3與拋物線x2=2qy相切,則A3A1必與拋物線x2=2qy相切.九、本題考查邏輯思維能力,利用數學歸納法證明問題的能力及極限的計算方法.解法一:(1)∵a1=p,an=pan-1,∴an=pn.又 b1=q,b2=qa1+rb1=q(p+r),b3=qa2+rb2=q(p2+pr+r2),…設想 bn=q(pn-1+pn-2r+…+rn-1)用數學歸納法證明:則 bk+1=qak+rbk即n=k+1時等式也成立.所以對于一切自然數n≥2,都成立.分子分母同除以pn,
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