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隨機過程分析.doc

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?隨機過程分析摘要 隨著科學的發展,數學在我們日常的通信體系中有著越來越重的地位,因為在科學研究中,只有借助于數學才能精確地描述一個現象的不同量之間的關系,從最簡單的加減乘除,到復雜的建模思想等等。其中,隨機過程作為數學的一個重要分支,更是在整個通信過程中發揮著不可小覷的作用。如何全面的對隨機信號進行系統和理論的分析是現在通信的關鍵,也是今后通信業能否取得巨大進步的關鍵。 關鍵字 通信系統 隨機過程 噪聲通信中很多需要進行分析的信號都是隨機信號。隨機變量、隨機過程是隨機分析的兩個基本概念。實際上很多通信中需要處理或者需要分析的信號都可以看成是一個隨機變量,利用在系統中每次需要傳送的信源數據流,就可以看成是一個隨機變量。例如,在一定時間內電話交換臺收到的呼叫次數是一個隨機變量。也就是說把隨某個參量而變化的隨機變量統稱為隨機函數;把以時間t為參變量的隨機函數稱為隨機過程。隨機過程包括隨機信號和隨進噪聲。如果信號的某個或某幾個參數不能預知或不能完全預知,這種信號就稱為隨機信號;在通信系統中不能預測的噪聲就稱為隨機噪聲。下面對隨機過程進行分析。一、 隨機過程的統計特性1、數學期望:表示隨機過程的n個樣本函數曲線的擺動中心, 即均值2、方差:表示隨機過程在時刻t對于均值a(t)的偏離程度。 即均方值與均值平方之差。 3、自協方差函數和相關函數:衡量隨機過程任意兩個時刻上獲得的隨機變量的統計相關特性時,常用協方差函數和相關函數來表示。(1)自協方差函數定義式中t1與t2是任意的兩個時刻;a(t1)與a(t2)為在t1及t2得到的數學期望;用途:用協方差來判斷同一隨機過程的兩個變量是否相關。(2)自相關函數 用途:a 用來判斷廣義平穩; b用來求解隨機過程的功率譜密度及平均功率。二、平穩隨機過程1、定義(廣義與狹義):則稱X(t)是平穩隨機過程。該平穩稱為嚴格平穩,狹義平穩或嚴平穩。 廣義平穩概念:若一個隨機過程的數學期望及方差與時間無關,而其相關函數僅與τ有關,則稱這個隨機過程為廣義平穩隨機過程。通信系統中的信號及噪聲,大多數可視為平穩的隨機過程。因此,研究平穩隨機過程有很大的實際意義。2、平穩隨機過程的數字特征1、均值:;2、方差:;3、自相關函數: 4、各態歷經性概念:對于一個平穩的隨機過程,如果統計平均=時間平均,這個隨機過程就叫做各態歷經的平穩隨機過程。 即: 一般來說,在一個隨機過程中,不同樣本函數的時間平均值是不一定相同的,而集平均則是一定的。因此,一般的隨機過程的時間平均≠集平均,只有平穩隨機過程才有可能是各態歷經的。即各態歷經的隨機過程一定是平穩的,而平穩的隨機過程則需要滿足一定的條件才是各態歷經的。 3、平穩隨機過程的頻譜特性(1)、自相關函數 我們已經知道,平穩隨機過程的自相關函數和時間t無關,而只與時間間隔τ有關,即R(0)為X(t)的均方值(平均功率)。對偶性 R(τ)=R(-τ)即自相關函數是τ的偶函數。(2)、功率譜密度對于任意的功率信號f(t)的功率譜為:而對于一個隨機過程來說,ξ(t)有許許多多次實現(即許許多多個樣本函數,其中某一次實現也是功率信號,其功率譜密度可以用上式表示。 但它不能作為隨機過程的功率譜密度。隨機過程的功率譜密度可以看作是每一個樣本函數的功率譜密度的統計平均(即數學期望)。設ξ(t)一次實現的截斷函數為ξT(t),ξT(t)的付氏變換為FT(ω),則該樣本函數的功率譜為: 這樣,整個隨機過程的平均功率譜為:該隨機過程的平均功率為: 且滿足:三、通信中如何應用隨機過程在通信系統中,編碼過程分為信源編碼和信道編碼兩種,信源編碼是為了壓縮信息之間的相關性,最大限度提高傳信率,目的在于提高通信效率;而信道編碼則相反,通過引入相關性,使信息具有一定的糾錯和檢錯的能力從而提高傳輸信息的可靠性。  對于信道編碼,由于信道中存在隨機噪聲,或者隨機干擾,使得經過信道傳輸后所接收到的碼元與發送碼元之間存在差異,這種差異就是傳輸產生的差錯。一般,信道噪聲,干擾越大,碼元產生差錯的概率也就越大。 所以信道編碼的任務就是構造出以最小冗余度代價換取最大抗干擾性能的碼字組合。從信道編碼的構造方法看,其基本思路是根據一定的規律在待發送的信息碼中加入一些人為多余的碼字。這些碼字的引入時信息之間具有相關性,雖然降低了信息所能攜帶的信息量,但是通過相關性可以克服由于隨機噪聲引入的誤碼情況。四、隨機過程在通信中的具體應用 1、馬爾可夫過程的應用 馬爾可夫隨機過程的發展史說明了理論與實際之間的密切關系。許多研究方向的提出,歸根到底是有其實際背景的。反過來,當這些方向被深入研究后,又可指導實踐,進一步擴大和深化應用范圍。下面簡略介紹一下馬爾可夫隨機過程在通信方面的應用情況。  許多服務系統,如電話通信,船舶裝卸,機器損修,病人候診,紅綠燈交換,存貨控制,水庫調度,購貨排隊,等等,都可用一類概率模型來描述。這類概率模型涉及的過程叫排隊過程,它是點過程的特例。當把顧客到達和服務所需時間的統計規律研究清楚后,就可以合理安排服務點。  在通信、雷達探測、地震探測等領域中,都有傳遞信號與接收信號的問題。傳遞信號時會受到噪聲的干擾,為了準確地傳遞和接收信號,就要把干擾的性質分析清楚,然后采取辦法消除干擾。這是信息論的主要目的。噪聲本身是隨機的,所以概率論是信息論研究中必不可少的工具。信息論中的濾波問題就是研究在接收信號時如何最大限度地消除噪聲的干擾,而編碼問題則是研究采取什么樣的手段發射信號,能最大限度地抵抗干擾。在空間科學和工業生產的自動化技術中需要用到信息論和控制理論,而研究帶隨機干擾的控制問題,也要用到馬爾可夫隨機過程。2、馬爾科夫鏈在分析頻譜占用情況時的應用 馬爾可夫過程是一個具有無后效性的隨機過程,無后效性是指隨機過程在時刻t的狀態已知的條件下,在時刻t+1所處狀態僅與時刻t的狀態有關,而與過程在時刻t以前的狀態都無關。那些時間離散、狀態離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈,簡稱馬氏鏈。頻譜在無線通信中是稀缺的資源。傳統的頻譜分配方式靜態地分配頻譜,頻譜利用率很低,很多時候頻譜并沒有被完全利用,而近年來對無線服務的需求不斷增大,因此頻譜資源日益緊張。而以馬爾科夫鏈為原理的認知無線電技術可以有效地解決頻譜資源緊張問題。認知無線電是一種智能通信系統。具有認知功能的無線通信設備可以感知周圍的環境,再利用已經分配給授權用戶,但在某一特定的時刻和環境下并沒有被占用的頻帶,即動態再利用“頻譜空穴”;并能夠根據輸入激勵的變化實時地調整其參數,在有限信號空間中以最優的方式有效地傳送信息,以實現無論何時何地都能保證通信的高可靠性和無線頻譜利用的高效性。 頻段狀態實時預測模型一般情況下CR將待查的頻段分為以下3種不同的情況:(1)黑空:被主用戶的原始分配業務大部分占據,存在高功率的干擾,不能被感知用戶使用。(2)灰空:被授權用戶的原始分配業務部分占用,存在一定程度的功率干擾,基本不被感知用戶使用。(3)白空:末被授權用戶的原始分配業務占用,僅存在環境噪聲,可以被感知用戶非授權地使用。為了能更好地進行頻譜共享,對待查頻段這3種情況,有必要利用馬氏鏈建模來實時估計和預測狀態變化情況,為頻譜共享和動態頻譜接入提供參考。 假如,經過一段時間的檢測并通過概率統計分析,得到狀態轉移圖,其狀態轉移概率矩陣為狀態轉移圖為 根據馬爾可夫原理,大多數情況下,隨著時間的推進,馬爾可夫過程都會演化到一個穩態概率分布。根據平穩分布的公式 黑空+灰空+白空=1          黑空×(1-a-b)+灰空×c+白空×f=黑空  黑空×b+灰空×d+白空×(1-f-e)=白空 可分別求得黑空、灰空、白空,再根據檢測周期T,可分別求得平均返回時間,這樣就可以為CR優化動態頻譜分配提供參考。3、排隊論在通信網中的運用 排隊論又稱隨機服務系統,主要解決與隨機到來、排隊服務現象有關的應用問題。是研究系統由于隨機因素的干擾而出現排隊(或擁塞)現象的規律的一門學科,排隊論的創始人Er la n g是為了解決電話交換機容量的設計問題而提出排隊論。它適用于一切服務系統,包括通信系統、計算機系統等。隨著電子計算機的不斷發展和更新,通信網的建立和完善,信息科學及控制理論的蓬勃發展均涉及到最優設計與最佳服務問題,從而使排隊論理論與應用得到發展。 顧客通過網絡必須經過三個環節,即顧客到達、排隊等候處理(服務)、離去。如圖: 排隊系統的組成包括三個部分:1.輸入過程2.排隊規則3.服務機構。其中,在輸入過程中,顧客的相繼到達時間間隔可分為確定型和隨機型,顧客到達系統的方式可以逐個或成批;顧客到達系統可以是獨立的或相關的,輸入過程可以是平穩、馬氏、齊次的。排隊規則可分為損失制,等待制和混合制。(1)損失制,顧客到達系統時,若系統中所有服務窗均被占用,則到達的顧客隨即離去,比如打電話時碰到占線,計算機限定的內存等均為此種情況;(2)等待制,顧客到達系統時,雖發現服務窗均忙著,但系統設有場地供顧客排隊等待之用,于是到達系統的顧客按排隊規則進行排隊等候服務;(3)混合制,它是損失制與等待制混合組成的排隊系統,此系統僅允許有限個顧客排隊等候排隊。服務機構系統可以一個窗口或多個窗口為顧客進行服務各窗口的服務時間可以是確定性或隨機型,顧客在系統內逗留的時間均值Ws顧客排隊等候服務的時間均值Wq服務時間的均值t顯然Ws=Wq+t。  我們可以講通信網帶入到上述理論中,與排隊論中的術語相對應,信道數m相當于窗口數。單位時間內的平均呼叫數相當于顧客的到達率λ,每次呼叫占用線路的平均時間相當于平均服務時間。排隊系統模型,相當于電話網中一個具有轉發功能節點上的業務情況。在通信過程中,往往要經過通信路徑上的轉發節點,因此對通信用戶間的整個業務來說,構成了多個連接的排隊模型。這個由多隊列相互連接的一類排隊模型,構成排隊網。五、隨機過程學習心得體會經過這學期再次深入的學習隨機過程,我真切的感受到自己收獲良多。首先對于知識本身有了更為透徹的理解,像平穩隨機過程、泊松過程、馬爾科夫過程等,都有了更為深刻的認識,不再只是單純的記公式,而是能應用到實際中去;學好隨機過程為我今后進行更深入的研究打下良好的理論基礎,讓我能夠利用隨機過程去解決隨機信號,信道建模等一系列問題。
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