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高階線性微分方程常用解法介紹.doc

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?高階線性微分方程常用解法簡介關鍵詞:高階線性微分方程 求解方法 在微分方程的理論中,線性微分方程是非常值得重視的一部分內容,這不僅因為線性微分方程的一般理論已被研究的十分清楚,而且線性微分方程是研究非線性微分方程的基礎,它在物理、力學和工程技術、自然科學中也有著廣泛應用。下面對高階線性微分方程解法做一些簡單介紹. 討論如下n階線性微分方程: (1),其中(i=1,2,3,,n)及f(t)都是區間上的連續函數,如果,則方程(1)變為 (2),稱為n階齊次線性微分方程,而稱一般方程(1)為n階非齊次線性微分方程,簡稱非齊次線性微分方程,并且把方程(2)叫做對應于方程(1)的齊次線性微分方程.1.歐拉待定指數函數法此方法又叫特征根法,用于求常系數齊次線性微分方程的基本解組。形如為常數,稱為n階常系數齊次線性微分方程。 為特征方程,它的根為特征根.1.1特征根是單根的情形設是特征方程的n個彼此不相等的根,則應相應地方程(3)有如下n個解:(5)我們指出這n個解在區間上線性無關,從而組成方程的基本解組.如果均為實數,則(5)是方程(3)的n個線性無關的實值解,而方程(3)的通解可表示為其中為任意常數.如果特征方程有復根,則因方程的系數是實常數,復根將稱對共軛的出現.設是一特征根,則也是特征根,因而于這對共軛復根對應的,方程(3)有兩個復值解對應于特征方程的一對共軛復根我們可求得方程(3)的兩個實值解1.2特征根有重根的情形設特征方程有k重根則易知知1.2.1先設即特征方程有因子,于是也就是特征根方程的形狀為而對應的方程(3)變為易見它有k個解,且線性無關.特征方程的k重零根就對應于方程(3)的k個線性無關解.1.2.2當重根對應于特征方程(4)的重根,方程(3)有個解 同樣假設特征方程(4)的其他根的 重數依次為;,且+++=n,(當ij),對應方程(3)的解有。 上述解夠成(3)的基本解組.1.2.3特征方程有復根,且為k重特征根。則(3)有2k個實解 要點是把微分方程的求解問題化為代數方程的求根問題。下面介紹兩個例子.例1. 求方程 的通解.解:特征方程為 或 由此得 =-1,=2+3i, =2-3i因此,基本解組為 通解為 .例2. 求方程 的通解. 解:特征方程為 由于 故特征根是 它們對應的實解為:. 所求通解為 .2.比較系數法 用于求常系數非齊次線性微分方程的特解.2.1類型1 設 ,其中及為實常數,那么常系數非齊次線性微分方程有形如的特解,其中k為特征方程的根的重數(單根相當于k=1;不是特征根時,取k=0), 而 是待定常數,可以通過比較系數來確定.2.1.1如果,則此時。 現在分為兩種情況討論. (a)不是特征根的情形,以代入方程,并比較t 的同次冪的系數,可以唯一的逐個確定. (b)是k 重特征根的情形,以為特解2.1.2如果,同樣分為兩種情況討論: 不是特征方程的根的情形,有特解; 是特征方程的k重根的情形,有特解.例1 求方程 的通解.解 易見,對應齊次方程的特征方程為 特征根是,對應齊次方程的通解為 由于是特征方程的根,故已知方程有形如 的特解.將它代入原方程,得 從而,故,由此得通解 例2 求方程 的通解. 解 對應齊次方程的特征方程為特征根為,齊次方程的通解為由于是單特征根,故已知非齊次方程有形如的特解. 將它代入已知方程,并比較的同次冪系數,得故,最后可得所求通解2.1類型2 設 是常數A(t),B(t)是帶實系數的多項式,一個次數為m,另一個不超過m.則非齊次線性微分方程有形如的特解,這里k為特征方程的根的重數。而P(t),Q(t)均為待定的帶實系數的次數不高于m的t的多項式,可以通過比較系數的方法來確定.例 求方程 的通解.解 先求解對應的齊次方程: 我們有 因為數不是特征根,故原方程具有形的特解.將上式代入原方程,由于故 =或比較上述等式兩端的的系數,可得因此,.故.所求通解為 .3.常數變易法 只要知道對應的齊次線性微分方程的基本解組就可以利用常數變易法求得非齊次線性微分方程的基本解組. 例:求非齊次方程的通解.已知是對應齊次方程的線性無關解.解:則它的通解為 現在求已知方程形如的一個特解.由關系式,滿足方程組或寫成純量方程組解上述方程組,得積分得故已知方程的通解為 除以上方法外,常用的還有拉普拉斯變換法,用拉普拉斯變換法則首先將線性微分方程轉換成復變數的代數方程,再由拉普拉斯變換表或反變換公式求出微分方程的解。 求一般二階齊次線性微分方程的冪級數解法,它的思想和待定系數法(或比較系數法) 有類似之處,所不同的是冪級數解法待定的是級數的系數,所以計算量相對較大. 在應用時必須特別注意的是:不同的方法用于不同類型的方程.
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