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因式分解教學中數學思想方法的滲透與運用.doc

'因式分解教學中數學思想方法的滲透與運用.doc'
?內江市東興區楊家鎮中心學校教師:郭宏杰因式分解教學中數學思想方法的滲透與運用在數學教學中,要培養學生良好思維品質,提高思維能力,就必須在傳授知識的同時,加強數學思想方法的教學?,F以因式分解教學為例,談幾點看法。一、類比思想的滲透與運用 在因式分解的概念教學中,引導學生將因式分解與因數分解進行類比能收到很好的效果。 (1)、從學習目的性上類比,小學里學習分數時,為了約分與通分的需要,必須學會把一個整數分解因數。類似的,代數里學完了整式四則運算就開始學習分式,為了約分與通分,也必須學會把一個多項式分解因式。這樣類比能引起學生自覺的求知欲。 (2)、從形式上類比,把整數21因數分解是3×7。類似地,x2-y2是x+y和x-y乘積的結果,因而多項式x2-y2因式分解為﹙x+y﹚﹙x-y﹚。x+y、x-y都是多項式x2-y2的因式。這樣類比使學生領會了因式分解的意義,也指明了因式分解的方法。(3)、從結果上類比。把一個整數分解質因數冪的形式,如18=32×2。類似地,把一個多項式分解因式,要分解到每一個因式都不能再分解為止,即分解后的因式必須是質因式。 通過這樣的類比,學生能認識從數到式的發展過程,是特殊到一般的思維體現,有助于學生自覺產生對概念的遷移,使學生真正理解因式分解。二、換元思想的滲透與運用(1)、 在進行運用公式法進行因式分解教學時,應緊緊抓住“替換”(或“代換”)兩個字,滲透換元思想,讓學生理解公式中字母既可用具體的數代換,也可以用單項式、多項式甚至更復雜的代數式替換。如:4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y) ↓ ↓ ↓ ↓ a2 — b2 = (a+b) (a-b)(2)、將多項式中的某一代數式用輔助元替換,可使生疏的形式變為熟悉的式子,便于問題的解決。如:把﹙x 2+x﹚﹙x 2+x+4﹚+4因式分解。設x 2+x=y ,則原多項式可變為y﹙y+4﹚+4 ,從而轉化為關于y的二次三項式y 2+4y+4的因式分解。(3)、要將一個多項式分解因式,可以假定這個多項式已經分解成了幾個因式之積,用字母代替因式的各項系數,將這些假定的因式相乘,與原多項式比較得出相應的系數。 如:7x 2-11x-6 ,因為二次三項式二次系數7=7×1 ,故可設它的二個一次因式為7x+a和x+b ,由﹙7x+a﹚﹙x+b﹚=7x 2+﹙a+7b﹚x+ab與原多項式比較可知,a+7b=﹣11 ,ab=﹣6 ,從而求得a=3 ,b=﹣2 ,即7x 2-11x-6=﹙7x+3﹚﹙x-2﹚。三、分類思想的滲透與運用在分組分解法的教學中,如何分組是學生不易掌握的難點,教師應引導學生從實際出發,選取恰當的標準,把它的各項不重復、不遺漏地劃分為若干類。通過分類討論尋找正確的分組方法。(1)、以次數分類進行分組。例如:把2a 2-5ab-3b 2+a+11b-6因式分解。則2a 2-5ab-3b 2+a+11b-6=﹙2a 2-5ab-3b 2﹚+﹙a+11b﹚-6=﹙2a+b﹚﹙a-3b﹚+﹙a+11b﹚-6=﹙2a+b-3﹚﹙a-3b+2﹚。(2)、以某字母為主元分類進行分組。如上例可以a為主元 即 2a2-5ab-3b2+a+11b-6=2a2+﹙1-5b﹚a+﹙﹣3b2+11b-6﹚=2a2+﹙1-5b﹚a-﹙3b-2﹚﹙b-3﹚=﹙a-3b+2﹚﹙2a+b-3﹚。(3)、以項數分類進行分組 例如,要分解的多項式有四項,可考慮“三一”分組或:“兩兩”分組。:“三一”分組是指第①、②、③、④項按①、②③④, ③、①②④, ④、①②③,進行分組?!皟蓛伞狈纸M是指將多項式的四項按①②、③④、①③、②④、①④、②③,進行分組。這樣,既不重復、又不遺漏地進行分類討論,從而找到合適的分組方法。四、方程思想的滲透與運用要將一個二次三項式分解因式,可以首先令這個一元二次三項式等于零,得到一個一元二次方程,求出方程的兩根,再將多項式分解因式。特別是在實數范圍內對二次三項式的因式分解,用這種方法尤為方便。 若方程ax2+bx+c=0﹙a≠0﹚的根為x1,x2則ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)例如分解因式2x2+5x-3,只要令2x2+5x-3=0 得x1=-3,x2=1/2,則 2x2+5x-3=2(x-1/2)(x+3)=(2x-1)(x+3)五、轉化思想的滲透與運用 例如要分解因式a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2,可將多項式轉化為關于a的二次三項式(b-c)a2+(c2-b2)a+(b2c-bc2),再利用提取公因式(b-c)和分組分解法即可達到分解的目的。 又如分解因式x3-3x+2,通過將多項式的某一項(或幾項),或者給多項式添項、減項,轉化為利用分解法進行因式分解,也能化難為易。即x3-3x+2=x3-x-2x+2=(x3-x)-2(x-1)=x(x+1)(x-1)-2(x-1)=(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2)總之,在數學教學中注意滲透和運用數學思想方法,有利于培養和發展學生思維的條理性、縝密性、靈活性,從而可大大提高學生解決數學問題的能力。
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