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冪函數的教學設計與反思.doc

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?幕函數的教學設計與反思靈山中學陳嘉第一部分 教學目標以及重難點1. 三維教學目標:1)知識與能力:.理解慕函數的概念;通過具體實例了解壽函數的圖象和性質,并能進行初步的應用。2)過程與方法:類比研究一般函數,指數函數、對數函數的過程 與方法,后研究壽函數的圖象和性質。3)情感,態度和價值觀:進一步滲透數形結合與類比的思想方法;體會需函數的變化規律及蘊含其中的對稱性。2?教學內容分析:1)教學重點:從五個具體的壽函數中認識的概念和性質2)教學難點:從幕函數的圖象中概插其性質第二部分教學流程一、內容歸納:幕函數的圖象系練習1:求滿足條件的d的収值范圍2 2 ^2 _2 (1) a2 > 3" (2) (a + l)§>(2 —(3) (a +1)刁 > (2 —a)刁二、拓展一:需函數與圖象變換(例4的拓展)1 2 1 1 2 1導引:我們已經知道:y = - . y = -,y =——的圖象;y =——,y = 一一,y = x x 2x x x 2x的圖象。前面也學習了圖象變換,知道一個簡單函數通過圖象變換后町以得到一些較復雜函 數的圖象。思考以下兩個問題:%1 將y噲的圖象右移2個單位,再上移動5?位,所得函數為對稱中心為%1 將y = _丄的圖象左移2個單位,再下移動1個單位,所得函數為 ,對稱中心答 ①y = _ —心代換表今》=—1 J y = ―1— +1,對稱中心M (2,1)2x 2(兀一 2) 2(x-2)②嚴約“占—.―爲“對稱中心如果將這兩個結果進行通分幣理,所得函數是什么特征?2r-3 一丫一3答:前者后者2x-4 x + 2那么,一般的線性分式函數y = g°,(cHO)是不是山函數y =-平移過來的? cx + d x問題探討:a b fl , z d、若一=—=m ,此n寸y =叫(兀H )c d cax + b —(cx + d) + b} a b、 ay = > y = y = — + ——— y = — + —'—rcx + d ' cx + d * c $ i d、 ? c i d心+—) x+—c c特征:(1)y = *平移的結果;(2)對稱中心為⑶過點(0上)(若”0) x c c ddx + 4練習 2:設 f(x) = ——,兀+ 2(1)若a = —3,寫出/(兀)對稱中心,作英的簡圖,并求xe[-3-2 2(—2,3]時y的取值范圍;(2)若/⑴在區間(-l,+oo)上是增函數,且在該區間恒有f(x) > 0 ,求a的取值范圍 是。三、拓展二:幕函數與函數疊加(例5的拓展)導弓I:課本例5實際上是兩個幕函數y = F和y = x的疊加。象y = 這樣的函數我 們稱為幕函數型函數,我們也能運用y = mxk的疊加得到熟悉的函數。如:二次函數 / (a) = ax1 +bx + c多項式函數 f (x) = 6r0 + axx + a2x2 +..? + a“x"其他如/(兀)=兀+ 丄,f(x) = X2 4--^- , ...? f(x) = x"X 兀_ xn再現:2 1①判斷函數/(x) = 2x + -,xg[-,3]的單調性,并求出它的單調區間(作業冊P33第x 27題:_ 2 2 2②設 /(x) = 2x + —[2.+OO), ill f(x) = 2x + —> 2 2x-— = 4,可否得到X X \ XZnin = 4 ?這些問題在學習函數基本性質和不等式時L2經討論過,當時我們是運用單調性定義、均 2值不等式等工具來解決的。英實,這些問題都是討論函數/(x) = 2x + —的個別性質,如果 x我們掌握它的圖象特征,反過來對函數性質的把握則會更加全血透徹。fl問題探討:討論/(x) = mx + —g R.m.n^O)的圖象特征。x山于/(兀)是奇函數,只需討論?!?情形即可。%1 當m,n異號時,加x和仝在?!?時的單調性一致,則f(x)在x>0時是單調函數,通過研究x->+oo和兀->0的趨勢,可得其圖彖。Y 3如f(x) = ,在?!?時是增函數,當()~尤時?,f (x) -00 ,當x —> +00時,2 xY X而且在其下方(?),山此可得圖彖兩條漸進線Y軸和y =二,再結合單調性 和奇偶性可得函數簡圖。%1 當加丿同號時,山于同止與同負是軸對稱關系,只需研究叫n> ()情形即可。頂點:山/(兀)=加兀+空n 2Jmr ?巴二2y/7^i ,可得x> 0吋的最低點(2y[mii) o漸進線:當 0 0,x > 0),若/(x) < 2x在(0,+co)上恒成立,求a的収值a x范圍。第三部分教學反思: 這堂課包含三個環節,第一環節幕函數的圖象系,是對幕函數圖象的歸納;第二環節討論 y=(ax+b)/(cx+d)的圖象特征,是對課本例4的拓展;第三環節討論函數y=mx+n/x的圖象, 是課本例5的拓展。以下主要反思后面兩個拓展的引入、過程及練習的教學。1、關于y=(ax+b)/(cx+d)的教學反思。%1 在引入方面,教學設計時曾考慮先讓學生討論y=(x?l"(x?2)的圖象,再山此引伸到一般情 形。但是覺得這個函數離學生已知的函數類型還有些距離,它的直接岀現對學生來說有點突 然。于是設想:以關注問題的發現為出發點,從兩簡小的幕函數開始,通過平移變換構造新 的函數,發現其結果形式類似,進而對其一般形式y=(ax+b)/(cx+d)的圖彖特征產生猜想。這 是對原有知識進行引伸拓展的一種引入。%1 在過程論證方面,教學設計時有三種考慮:一是探究式(學生論證);二是講授式(教師 分步講解);三是閱讀理解式(教師作重點解釋)??紤]到學生基礎較好,同時也是為了縮短 時間,增加容量,選擇了第三種。課后反思時不禁白問:如果讓學生進行探究學習,親歷論 證過程情況會怎樣?從學生的認知過程來看,需要解決兩個問題:首先要解決的是:函數f(x)=(ax+b)/(cx+d)的圖彖是否從y=nVx平移過來的?有前面的通分 變形作鋪墊,學生不難得到了 f(x)的分離式(通分的逆過程),從而證實f(x)是從尸b?/x平 移過來的。在論證過程中,可能忽略b?=0情形,教師只需提示補充即可。其次是討論f(x)的對稱中心問題。學生可能會遇到困難,因為不知道f(x)的具體平移方向(抓 住學生可能出現的各種結果)。這時可以啟發觀察前面兩個具休例子的結果,通過比較,歸 納出f(x)的對稱中心坐標M(-d/c,a/c)o這個中心坐標是一般問題的形式化結論,讓學生通過 —般式和具體形式的比較歸納出來更好理解些。英實還可以進一步啟迪學生,討論d/c的符 號,歸納出不論是左移述是右移,對稱中心橫坐標的形式都是-d/c,縱坐標同理。至于圖象位置問題。有了對稱中心,兩條漸進線也知道了,它們把平面劃分為四個區域。學 生不難理解,既然圖彖是山y=b2/x平移過來的,那么它落在哪個區域當然是山b?的符號來 決定。(在這個環節的教學中不應急于提出山一個定點(O,b/d)可確定位置,可留下一個伏 筆。在練習2(1)時學生可能直接套用上述結論形式,直接寫出對稱中心,曲于述沒作分離, 不知道b2的符號,作圖時可能存在困惑)。在難度不是很大的情況下,讓學生探討一些-?般性問題的形式化結論,對提高英數學思維素 養是有意義的。我想這個過程實際上就是一個“問題解決”的過程。在今后課題實踐中,"問 題解決”的設計模式應該成為拓展教學的主要方式之一。%1 練習2的設計問題??紤]構造一個過定點的曲線系(幕函數的圖象實際是過定點(1,1)的曲線系,這里上升到一次 分式函數),其特征是:圖象過一個定點B(m,n),對稱中心M(d,y0)在一條定直線x=d上滑 動(m,n,d是常量,y°是參數),這個函數的一般形式是:f(x)=[yo(x?m)+n(m+d)]/(x+d)給常量賦上簡單的值:m=0,n=2,d=2后,%改寫為a,得函數f(x)=(ax+4)/(x+2),此時定點是 B(0,2),中心是 M(?2,a)。當漸進線y=a滑動到定點下方吋,要求討論一個具體函數的某些性質,即練習2(1)。當漸進線y二a滑動到定點上方時,要求討論曲線系滿足某些特征吋參數的取值范圍,即練習 2(2)o這是一類典型的數形結合問題,曲線特征(幾何)與參數范圍(代數)的關系是形與 數的對應關系。原先考慮使用多媒體來展示,當參數a變化時圖象系的生成過程,使學生能夠直觀地看到雙 曲線單調性、郴對于漸進線的位置和開口寬闊程度的變化,但沒來得及做。練習2的教學反思與思考。練習2(1)吋,課堂上出現兩種解法情形:一部分學生釆用分離系數法,畫岀圖彖;另部分學 生根據上而的形式化結論馬上寫出對稱中心M(-2,-3),并畫出兩條漸進線,但往下就卡住了, 不知道把圖象畫在哪個區域。這時教師強調,可以通過檢驗一個定點B(0,2)所處的區域來確 定圖象的位置。練習2⑵時,教師指導,由于有了對稱中心M(-2,a)和定點B(0,2),只需分析漸進線尸a與 定點B(0,2)的位置關系,就知道曲線系的單調性變化情況,然后將曲線特征的限定轉化為參 數的限建即可。課后曹土清老師提示:采用分離系數法更具一般性,對不是過定點的曲線系 也適合。我想確實如此,如f(x)=(ax+a')/(x+2)的圖彖是不過定點的曲線系,此時應分離系數 f(x)=a+(『-2a)/(x+2),再令(a2-2a)0,求得其解。這里出現兩種解法,一是運用拓展教學的過程方法(分離系數法),二是運用拓展教學的結 論形式(直接寫出中心坐標)和題目的特殊性(過定點)。將這個情形上升到一■般,這使我想到基礎課程的教學目標與拓展教學的目標問題。前者的三 維目標已經明確,不僅掌握知識與技能,還關注過程與方法等,后者該如何把握呢? 拓展教學涉及到兩個關鍵的目標要素:一是過程與方法,二是拓展結論。如果把對“過程與 方法”的掌握程度區分為理解與不理解(或更進一步的親歷與不親歷),在“拓展結論”的 掌握程度中區分岀掌握結論形式(定量描述)與掌握結論特性(定性描述),則其可組合為 四種形式:①理解過程與方法,掌握結論形式;②理解過程與方法,掌握結論特性;③不理 解過程與方法,掌握結論形式;④不理解過程與方法,掌握結論特性。顯然,后兩種目標形 式是純粹識記性的,對高中數學教學來說一般不適合。第一種目標形式己經達到基礎課程的 要求程度,対拓展教學來說只能是個選擇性的目標形式(如柯西不等式,可選擇此目標)。 而第二種應該成為拓展教學要重點關注的目標形式。如,假設這堂課的這個環節的教學已經達到了上述第二種目標,解答練習2時,學生就知道 函數的圖彖形狀是雙曲線,是從y=m/x平移過來的(掌握結論特性),更進一步的,還知道 通過分式的分離可以得到它的對稱中心和圖象位置(理解過程與方法)。與不知道這個結論 特性(不進行拓展教學)相比,站的層而就髙些。我想,對這堂課來說(或更多的拓展課來 說),與基礎課程教學相比,拓展教學能達成這個目標是合適的n2、關于y=mx+n/x的教學反思。%1 在引入方面,先通過例5說明通過y=mxk的疊加(函數運算),可以得到一些我們熟知的 函數,接著“再現”做過的作業、練習,至此學生已經關注上函數y=mx+n/x 了。這是對 原有知識進行一般化拓展的一種引入。%1 在過程探究方面,課后反思覺得,這個環巧幾乎沒有做教學設計。從學生的認知過程來看, 與函數f(x)=(ax+b)/(cx+d)不同,不僅涉及到的符號分類討論,還涉及到頂點、漸進線和 旳調性的分析。顯然課堂上采用的演繹式的學法是缺乏考慮的。課堂上做探究學習也不切實 際(或安排為研究性學習較合適,這個函數再加上它的拓展y=mxk+n/(xk)可以作一個課題)。 處理這個環節,比較合適的辦法應該是講授式,先研究實例,再歸納出一般情形。%1 練習3的設計反思與改進。在設計練習3吋,應該以對函數圖彖的理解和運用為主線,如果在練習3 (1)屮再加上一 小問:作岀函數y=x+l/(x-l)的圖象,把練習3 (2)討論的區間(0,+8)改為不包含頂點的區 間(1,+8),則會更扣緊本課的教學意圖?;蛘呖紤]使用以下這個題:求函數f(x)=(;lx2+2)/x,(a>0) 在區間(0,a)上的最小值(這是從二次函數的一類典型問題改編過來的),從知識的運用與解 題的思想方法上看,更切合拓展教學的意圖。此外,在設計練習3,如果先回到教學引入時'‘再現”的問題,讓學生在掌握函數的整體圖 彖特征后,再冋過頭來看以前的問題,反思當時的解法,那么學生就會充分體驗到拓展學習 的必要性,并產生明顯的收獲感。在今后的課題實踐中,應該精心設計拓展內容,創造更多 的機會,辻學生站在一個較高的層面上審視過去所學,反思過去所想。當他們發現視野得到 開闊、過去所思所做只不過是小兒科時,我想他們的認知水平應該是更上一?個臺階了。許多 學校要求制作錯題集、病歷卡等也許就是這個緣故吧。
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教學 設計 函數 反思
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