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復變函數與實變函數微積分領域淺析.doc

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?復變函數與實變函數微積分領域淺析15051254--唐亮復變函數論是數學中一個基本的分支學科,它研究復變數的函數,很幸運這 個學期選到陳老師的復變函數,受益匪淺。復變函數歷史悠久,內容豐富,理論 十分完美,應用也十分廣泛。首先略微簡述一下復變函數的歷史。復數起源于求代數方程的根。復變函數 論的全面發展是在十九世紀,就像微積分的直接擴展統治了十八世紀的數學那 樣,復變函數這個新的分支統治了十九世紀的數學。當時的數學家公認復變函數 論是最豐饒的數學分支,并且稱為這個世紀的數學享受,也有人稱贊它是抽象科 學中最和諧的理論之一。為復變函數論的創建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝 爾,法國的拉普拉斯也隨后研究過復變函數的積分,他們都是創建這門學科的先 驅。后來為這門學科的發展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數學家 維爾斯特拉斯。二十世紀初,復變函數論又有了很大的進展,維爾斯特拉斯的學 生,瑞典數學家列夫勒、法國數學家彭加勒、阿達瑪等都作了大量的研究工作, 開拓了復變函數論更廣闊的研允領域,為這門學科的發展做出了貢獻。以下我將對已學的復變函數微積分的相關知識做以總結和歸納。復變函數的微積分理論㈠復變函數的微分性質我們知道函數的導數是由極限來定義的,所以我先把復變函數的極限理論做 以梳理。%1 復變函數極限的概念:函數3二f(Z)定義在創的去心鄰域0< | Z-Zo | 0,相應的必有一個正數§(£) 使得當 0V | z-z0 | < 5 (0V § W P)時,有 | fG)-A | vx> v y在點(X, y)存在;IIu(x, y) 、V(x, y)在點(x, y),滿足柯西-黎曼方程2?充分條件,設函數f (z)= u(x, y)+iv(x, y)在區域D內有定義,則f(z)在D內一點z=x+iv可微的充分條件是I g、uy> vx> Vy在點(x, y)處連續;IIu(x, y)、v(x, y)在點(x, y)處滿足柯西-黎曼方程3?充要條件,設函數f (z)= u(x, y)+iv(x, y)在區域D內有定義,則f(z)在 D內一點z二x+iv可微的充要條件是I二元函數u(x, y)、v(x, y)在點(x, y)處可微IIu (x, y)、v(x, y)在點(x, y)處滿足柯西-黎曼方程㈡復變函數的積分性質這一部分主要分為四個部分,分別為不定積分、定積分、柯西定理、積分的 計算。%1 復變函數的不定積分區域D內f(z)的帶有任意常數的原函數F (z) +C成為f(z)在D內的不定積分,記為,F (z) +C,這里f(z)為被積函數,z為積分變量。%1 復變函數的定積分復變函數的定積分依然是以黎曼和的形式定義的。函數s二f(z)定義在區域 D內,C為區域D內的起點為A終點為B的一條光滑的有向曲線,把曲線C任意 分成n個弧段,設分點位A=z0, Zi, --Zk-i, zk—zr=B,每個弧段(k=l、2???門)上任取 一點匚 k作和式 S?= ? (zk-zk-i) = ? A zk iB 6 =max{ A sk}, (A sk 為),當 n 無限增 加,且6-0時,如果不論C的分法及的取法,S“有唯一極限,那么稱這個極限 值為函數f(z)沿曲線C的積分。%1 復變函數的柯西定理(柯西積分定理)由柯西定理可知如果函數f(z)是單連通區域上的解析函數,則有以下性質:1 ?若C是D內連接兩點%及z的一條簡單曲線,那么沿曲線C的積分的值不依 賴于曲線C,而只由z°及z決定。2?固定%,而z在D內任意取值,上述積分所 確定的函數F (z)在D被解析,且(z)=f (z) 3?若①(z)為f (z)在區域D內的原函數,那么①(z) -①(Zo)這里z。, z為D內的點。%1 復變函數積分的計算1 ?定義法,利用黎曼和式的極限來計算;2 ?利用復變函數積分與坐標曲線的聯系;3 ?利用柯西積分定理;4 ?利用柯西積分公式;5 ?參數方程法實變函數的微積分性質及與復變函數微積分的比較一實變函數導數的定義及性質設函數y=f (x)在X。的某個鄰域U(X。)內有定義,當自變量x在X。處取得增 量時,相應地函數y取得增量=f (x0+)-f (x0),如果極限存在,則稱函數y=f(z) 在點x°處可導。二實變函數微分與導數的關系函數y=f (x)在點X??晌⒌某湟獥l件是f(x)在點X??蓪?。區別:由此可以看出復變函數與實變函數關于導數概念的敘述是相似的,即都 是由函數值的差與自變量的差之商的極限來定義導數,它們的聯系也是密切的, 區別則是整個取值的差異。復變函數在復數域中取值,實變函數在實數域內取值, 但兩種微分的幾何意義是相同的?!獙τ谖⒎值男再|,實變函數與復變函數有以下兩大點的不同:1解析函數零點的孤立性。區域D內點點可微的復變函數成為區域D內的解 析函數。在《復變函數論》中,解析函數的零點總是孤立的。而實變函數體現出 的性質則截然相反。2解析函數的無窮可微性?在復變函數中,若f(z)在區域D內解析,則f(z) 在區域D內具有各階導數,并且它們也在區域D內解析。復變函數的這一性質稱 為解析函數的無窮可微性。實變函數中區間上的可微函數,是不一定具有二階導 數的,更談不上具有高階導數,這樣的例子很多。三實變函數的不定積分設F (x)是f(x)的一個原函數,則f(x)的全體原函數F(x) +C (C為任意的 常數)稱為f(x)的不定積分。定積分的計算方法:1,第一類換元法;2,第二類 換元法四實變函數的定積分設函數f(x)在[a, b]±有界,在[a, b]中任意插入n-1個分點,a=x0<Xi<x2 < —<x?=b,把區間[a, b]分成ri個小區間[x°, x], [xi, x2] — [x?-b xn],個小區間的 長度依次為=x-x0, =X2-Xi,…,二x廠x”i,在每個小區間上任取一點匚,做乘積 f 0 (i=l, 2, —, n),再作和式,如果不論[a, b]怎樣分法,也不論[x「i, xj上點 怎樣取法,當入一0時,和S總趨于確定的極限I,這時我們稱這個極限I為函 數f (x)在區間[a, b]上的定積分。復變函數積分性質與實變函數積分性質的區別⑴復變函數積分的定義類似數學分析里積分的方法,采取的是分割、近似替 代、求和、取極限等步驟來建立的,但形式像一元積分,而實質像曲線積分,也 就是復變函數的積分在本質上與實變函數中第一類曲線積分相似。⑵復變函數積分的牛頓一萊布尼茲公式與實一元函數的牛頓一萊布尼茲公 式在形式和結果上幾乎是完全一致,但實一元函數積分對函數的要求比復變函數 積分對函數的要求要低得多。用牛頓一萊布尼茲公式計算復變函數積分,首先要 解決的是,積分上下限的兩點是否可以包含在一個單連通域內,且被積函數f(z) 是否在該單連通域內解析。⑶復變函數與實變函數積分最大的不同之處是復變函數積分主要研究簡單 閉曲線上的積分f (z) dz,方法不同于高等數學中的方法,但思想有相同之處。 復合閉路定理或留數定理,表達了邊界與內部的聯系,在高等數學中的牛頓一萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式同樣表達了邊界與內部的聯系。復變函數微積分理論應用復變函數論的方法在力學、物理學、以及工程技術中都有應用,就是把流體 力學、彈性力學、電磁學、熱學、電工以及通訊中的一些問題轉化為復變函數中 的一些問題,用解析函數來解決。而計算一些實積分可以采用留數定理。%1 利用復變函數的微分性質研究平而向量場的相關問題。以靜電場為例。我 們知道場內沒有其他物體帶電的平而靜電場既是無源場也是無旋場。我們可以利 用復變函數中的解析函數來構造場E的復勢。%1 復變函數積分的相關理論在流體力學中的應用%1 留數的相關理論在積分計算中應用也較為廣泛??偨Y復變函數博大精深,樂趣無窮,我只能淺顯的論述一下,但前面還有無垠的 真理之海等著我們去探索。
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微積分 淺析 實變函數 領域 復變函數
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