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高中一年級數學必修1第三章 函數的應用3.1 函數與方程課件.ppt

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新課導入 回想一下上一節課所學的內容.(1)函數的零點及其等價關系? 對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.方程f(x)=0有實數根函數y=f(x)的圖象與x軸有交點函數y=f(x)有零點(2)如何求零點個數及所在區間? 解一:利用計算器或計算機作的對應那么函數在區間內至少有一個實數有且只有一個零點、再在其它區間內去尋找.上連續,并且有值表,若在區間在上的單調性,則在根、若能證明 解二:試探著找到兩個x對應值為一正一負(至少有一個);再證單調增函數即可得有且只有一個. 解三:構造兩個易畫函數,畫圖,看圖象交點個數,很實用. (3)連續函數在某個區間上存在零點的判別方法: 如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點.即存在c∈(a,b),使得f(c )=0,這個c也就是方程f(x)=0的根. 從學校教學樓到學校食堂的電纜有5個接點.現在某處發生故障,需及時修理.為了盡快把故障縮小在兩個接點之間,一般至少需要檢查多少___次.21 2 3 4 5猜數字游戲,看誰先猜中10次以內猜出,你們能做到嗎 ? 從1~1000這1000個自然數隨機抽出1個數,誰能根據提示“大了”“小了”“對了”先猜出這個數?想一想3.1.2 用二分法求方程的近似解ax2+bx+c=0x2+x-6=0思考 一元二次方程可以用公式求根,但沒有公式可用來求lnx+2x-6=0的根,能否利用函數的有關知識來求它根的近似值呢?探究12.你能繼續縮小零點所在的區間嗎?1.你能找出零點落在下列哪個區間嗎?√(a,b)中點x1f(a)f(x1)(2 , 3)2.5負-0.084(2.5,3) 2.75負0.512(2.5,2.75)2.625負0.215(2.5,2.625)2.5625負0.066(2.5,2.5625)2.53125負-0.009(2.53125,2.5625)2.546875負0.029(2.53125,2.546875)2.5390625負0.010(2.53125,2.5390625)2.53515625負0.001f(b)正正正正正正 正正| 2.5390625 -2.53125|=0.0078125<0.01 精確度已達到0.01 這種運用縮小零點所在范圍的方法在數學和計算機科學上被稱為二分法. 對于區間[a,b]上連續不斷且f(a) ·f(b)<0的函數y=f(x),通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二,使區間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法(bisection). 二分法的實質就是將函數零點所在的區間不斷地一分為二,使新得到的區間不斷變小,兩個端點逐步逼近零點. 思考:下列函數中哪個能用二分法求零點?√二分法求方程近似解的一般步驟: 1、確定區間[a,b],驗證f(a)f(b)<0,給定精確度ε.2、求區間(a,b)的中點c.3、計算f(c);(1) 若f(c)=0,則c就是函數的零點(2) 若f(a)f(c)<0,則令b= c(此時零點x0∈(a,c))(3) 若f(b)f(c)<0,則令a= c(此時零點x0∈(c,b)) 4、判斷是否達到精確度ε,即若|a-b|< ε,則得到零點的近似值a(或b);否則重復2~4. 由|a-b|<ε可知,區間[a,b]中任意一個值都是零點x0 的滿足精確度ε的近似值,這是為什么呢?(當然為了方便,這里統一取區間端點a(或b)作為零點的近似值)思考確定初始區間求中點,算其函數值縮小區間算長度,比精度下結論返回周而復始怎么辦? 精確度上來判斷.定區間,找中點,中值計算兩邊看.同號去,異號算,零點落在異號間.口 訣例: 求出方程x2-2x-1=0的一個近似解(精確度0.1) 解:做出函數f(x)=x2-2x-1的對應值表與圖像.x-10123f(x)2-1-2-12 由圖可知道此函數在區間(-1,0)與(2,3)內有零點.-1-2-2-111232oxy在區間(2,3)中由于所以方程的一個近似解可取為2.4375. 在區間(-1,0)中同理可得到方程的另外一個近似解為0.375.綜上所述方程的近似解分別是0.375,2.4375. 用二分法求函數的零點近似值的方法僅對函數的變號零點適合,對函數的不變號零點不適用.注意例:用二分法求方程 在區間(-1,0)內的近似解(精確度0.1)易知:f(-1)0取x=-0.5,計算f(-0.5)≈3.375>0取x=-0.75,計算f(-0.75)≈1.58>0解:取x=-0.875,計算f(-0.875)≈0.39>0取x=-0.9375,計算f(-0.9375)≈-0.28<0∴ 原方程的近似解取為-0.9375 對于在區間[a,b]上連續不斷、且f(a)f(b)<0的函數y=f(x),通過不斷把函數f(x)的零點所在區間一分為二,使區間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫二分法.課堂小結1.二分法 2.概括利用二分法求函數f(x)零點的近似值的步驟1.確定區間[a,b],驗證 ,給定精確度 2.求區間(a,b)的中點c.3.計算f(c)(1)若f(c)=0,則c 就是函數的零點;(2)若 ,則令b=0(此零點 );4.判斷是否達到精確度 :即若 ,則得到零點 近似值a(或b);否則重復步驟2-4. (3)若 ,則令a=0(此時零點 ). 課堂練習1.下列函數中能用二分法求零點的是( )xy0xy0xy0xy0ABCDB 2.用二分法求函數y=f(x)在 內零點近似值的過程中得到f(1)0,f(1.25)<0,則函數的零點落在區間( )A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C. (1.5,2) D.不能確定A3.已知函數的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側,則 實數m的取值范圍是( ) B. D.A.C.D4.已知函數的圖象如圖所示,則12 B. C. D.A.教材習題答案 1. 有題設可知f(0)=-1.40,由于f(0).f(1)<0,所以函數f(x)在區間(0,1)內有一個零點. 下面用二分法求函數f(x)=x3 +1.1x2 +0.9x-1.4在區間(0,1)內的零點.取區間(0,1)的中點 ,用計算器算得f(0.5)=-0.55,因為f(0.5).f(1)<0,所以 再取區間(0.5,1)的中點 ,用計算器算得f(0.75)≈ 0.32.因為f(0.5).f(0.75)<0,所以.同理得所以原函數在區間(0,1)內精確到0.1的零點約為0.7. 2.原方程即x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3.用計算器算得f(2) ≈-0.70,f(3) ≈ 0.48,于是f(2).f(3)<0,所以這個方程在區間(2,3)內有一個解.下面用二分法求方程x=3-lgx在區間(2,3)的近似解:取區間(2,3)的中點 ,用計算器得f(2.5) ≈-0.10.因為f(2.5).f(3)<0,所以再取區間(2.5,3)的中點 用計算器算得f(2.75) ≈0.19.因為f(2.5).f(2.75)<0 ,所以同理可得所以方程的近似解可取為2.5625.
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