2017全國二卷理科數學高考真題及答案

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?2017年普通高等學校招生全國統一考試理科數學(全國2卷)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.()A. B. C. D.2.設集合,.若,則()A. B. C. D.3.我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞4.如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.5.設,滿足約束條件,則的最小值是()A. B. C. D.6.安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有()A.12種 B.18種 C.24種 D.36種7.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優秀,2位良好,我現在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據以上信息,則()A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績8.執行右面的程序框圖,如果輸入的,則輸出的()A.2 B.3 C.4 D.59.若雙曲線(,)的一條漸近線被圓所截得的弦長為2,則的離心率為()A.2 B. C. D.10.已知直三棱柱中,,,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.11.若是函數的極值點,則的極小值為()A. B. C. D.112.已知是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內一點,則的最小值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一批產品的二等品率為,從這批產品中每次隨機取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件數,則.14.函數()的最大值是.15.等差數列的前項和為,,,則.16.已知是拋物線的焦點,是上一點,的延長線交軸于點.若為的中點,則.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第17~21題為必做題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選-省略部分-標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)M為曲線上的動點,點P在線段OM上,且滿足,求點P的軌跡的直角坐標方程;(2)設點A的極坐標為,點B在曲線上,求面積的最大值.23.[選修4-5:不等式選講](10分)已知,證明:(1);(2).2017年普通高等學校招生全國統一考試理科數學(Ⅱ)試題答案一、選擇題1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B二、填空題13. 1.96 14. 1 15. 16. 6三、解答題17.解:(1)由題設及,故上式兩邊平方,整理得 解得 (2)由,故又由余弦定理及得所以b=218.解:(1)記B表示事件“舊養殖法的箱產量低于”,表示事件“新養殖法的箱產量不低于” 由題意知舊養殖法的箱產量低于的頻率為故的估計值為0.62新養殖法的箱產量不低于的頻率為故的估計值為0.66因此,事件A的概率估計值為(2)根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯表箱產量箱產量舊養殖法6238新養殖法3466由于故有的把握認為箱產量與養殖方法有關.(3)因為新養殖法的箱產量頻率分布直方圖中,箱產量低于的直方圖面積為,箱產量低于的直方圖面積為故新養殖法箱產量的中位數的估計值為.19.解:(1)取中點,連結,.因為為的中點,所以,,由得,又所以.四邊形為平行四邊形,.又,,故(2)由已知得,以A為坐標原點,的方向為x軸正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,則則,,,,,則因為BM與底面ABCD所成的角為45°,而是底面ABCD的法向量,所以,即(x-1)2+y2-z2=0又M在棱PC上,設由①,②得所以M,從而設是平面ABM的法向量,則所以可取m=(0,-,2).于是因此二面角M-AB-D的余弦值為20.解(1)設P(x,y),M(x0,y0),設N(x0,0), 由得因為M(x0,y0)在C上,所以因此點P的軌跡方程為(2)由題意知F(-1,0).設Q(-3,t),P(m,n),則,由得,又由(1)知,故3+3m-tn=0所以,即又過點P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.21.解:(1)的定義域為設,則等價于因為若a=1,則.當0<x<1時,單調遞減;當x>1時,>0,單調遞增.所以x=1是的極小值點,故綜上,a=1(2)由(1)知設當時,;當時,,所以在單調遞減,在單調遞增又,所以在有唯一零點x0,在有唯一零點1,且當時,;當時,,當時,.因為,所以x=x0是f(x)的唯一極大值點由由得因為x=x0是f(x)在(0,1)的最大值點,由得所以22.解:(1)設P的極坐標為,M的極坐標為,由題設知由得的極坐標方程因此的直角坐標方程為(2)設點B的極坐標為,由題設知,于是△OAB面積當時,S取得最大值所以△OAB面積的最大值為23.解:(1)(2)因為所以,因此a+b≤2.14
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