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一次函數綜合練習(全等三角形,勾股定理)問題詳解

'一次函數綜合練習(全等三角形,勾股定理)問題詳解'
?實用標準1.如圖1,已知直線y=2x+2與y軸、x軸分別交于A、B兩點,以B為直角頂點在第二象限作等腰Rt△ABC (1)求點C的坐標,并求出直線AC的關系式.(2)如圖2,直線CB交y軸于E,在直線CB上取一點D,連接AD,若AD=AC,求證:BE=DE.(3)如圖3,在(1)的條件下,直線AC交x軸于M,P(,k)是線段BC上一點,在線段BM上是否存在一點N,使直線PN平分△BCM的面積?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.考點:一次函數綜合題。分析:(1)如圖1,作CQ⊥x軸,垂足為Q,利用等腰直角三角形的性質證明△ABO≌△BCQ,根據全等三角形的性質求OQ,CQ的長,確定C點坐標;(2)同(1)的方法證明△BCH≌△BDF,再根據線段的相等關系證明△BOE≌△DGE,得出結論;(3)依題意確定P點坐標,可知△BPN中BN變上的高,再由S△PBN=S△BCM,求BN,進而得出ON.解答:解:(1)如圖1,作CQ⊥x軸,垂足為Q,∵∠OBA+∠OAB=90°,∠OBA+∠QBC=90°,∴∠OAB=∠QBC,又∵AB=BC,∠AOB=∠Q=90°,∴△ABO≌△BCQ,∴BQ=AO=2,OQ=BQ+BO=3,CQ=OB=1,∴C(﹣3,1),由A(0,2),C(﹣3,1)可知,直線AC:y=x+2;(2)如圖2,作CH⊥x軸于H,DF⊥x軸于F,DG⊥y軸于G,∵AC=AD,AB⊥CB,∴BC=BD,∴△BCH≌△BDF,∴BF=BH=2,∴OF=OB=1,∴DG=OB,∴△BOE≌△DGE,∴BE=DE;(3)如圖3,直線BC:y=﹣x﹣,P(,k)是線段BC上一點,∴P(﹣,),由y=x+2知M(﹣6,0),∴BM=5,則S△BCM=.假設存在點N使直線PN平分△BCM的面積,則BN?=×,∴BN=,ON=,∵BN<BM,∴點N在線段BM上,∴N(﹣,0).點評:本題考查了一次函數的綜合運用.關鍵是根據等腰直角三角形的特殊性證明全等三角形,利用全等三角形的性質求解.2.如圖直線?:y=kx+6與x軸、y軸分別交于點B、C,點B的坐標是(﹣8,0),點A的坐標為(﹣6,0)(1)求k的值.(2)若P(x,y)是直線?在第二象限內一個動點,試寫出△OPA的面積S與x的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍.(3)當點P運動到什么位置時,△OPA的面積為9,并說明理由.考點:一次函數綜合題;待定系數法求一次函數解析式;三角形的面積。專題:動點型。分析:(1)將B點坐標代入y=kx+6中,可求k的值;(2)用OA的長,y分別表示△OPA的底和高,用三角形的面積公式求S與x的函數關系式;(3)將S=9代入(2)的函數關系式,求x、y的值,得出P點位置.解答:解:(1)將B(﹣8,0)代入y=kx+6中,得﹣8k+6=0,解得k=;(2)由(1)得y=x+6,又OA=6,∴S=×6×y=x+18,(﹣8<x<0);(3)當S=9時,x+18=9,解得x=﹣4,此時y=x+6=3,∴P(﹣4,3).點評:本題考查了一次函數的綜合運用,待定系數法求一次函數解析式,三角形面積的求法.關鍵是將面積問題轉化為線段的長,點的坐標來表示.3.如圖①,過點(1,5)和(4,2)兩點的直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點.(1)如果一個點的橫、-省略部分-且a、b滿足.(1)求直線AP的解析式;(2)如圖1,點P關于y軸的對稱點為Q,R(0,2),點S在直線AQ上,且SR=SA,求直線RS的解析式和點S的坐標;(3)如圖2,點B(﹣2,b)為直線AP上一點,以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC,點C在第一象限,D為線段OP上一動點,連接DC,以DC為直角邊,點D為直角頂點作等腰三角形DCE,EF⊥x軸,F為垂足,下列結論:①2DP+EF的值不變;②的值不變;其中只有一個結論正確,請你選擇出正確的結論,并求出其定值.考點:一次函數綜合題;非負數的性質:偶次方;非負數的性質:算術平方根;待定系數法求一次函數解析式;等腰三角形的性質;關于x軸、y軸對稱的點的坐標。專題:代數幾何綜合題;動點型。分析:(1)根據非負數的性質列式求出a、p的值,從而得到點A、P的坐標,然后利用待定系數法求直線的解析式;(2)根據關于y軸的點的對稱求出點Q的坐標,再利用待定系數法求出直線AQ的解析式,設出點S的坐標,然后利用兩點間的距離公式列式進行計算即可求出點S的坐標,再利用待定系數法求解直線RS的解析式;(3)根據點B的橫坐標為﹣2,可知點P為AB的中點,然后求出點B得到坐標,連接PC,過點C作CG⊥x軸于點G,利用角角邊證明△APO與△PCG全等,根據全等三角形對應邊相等可得PG=AO,CG=PO,再根據△DCE是等腰直角三角形,利用角角邊證明△CDG與△EDF全等,根據全等三角形對應邊相等可得DG=EF,然后用EF表示出DP的長度,然后代入兩個結論進行計算即可找出正確的結論并得到定值.解答:解:(1)根據題意得,a+3=0,p+1=0,解得a=﹣3,p=﹣1,∴點A、P的坐標分別為A(0,﹣3)、P(﹣1,0),設直線AP的解析式為y=mx+n,則,解得,∴直線AP的解析式為y=﹣3x﹣3;(2)根據題意,點Q的坐標為(1,0),設直線AQ的解析式為y=kx+c,則,解得,∴直線AQ的解析式為y=3x﹣3,設點S的坐標為(x,3x﹣3),則SR==,SA==,∵SR=SA,∴=,解得x=,∴3x﹣3=3×﹣3=﹣,∴點S的坐標為S(,﹣),設直線RS的解析式為y=ex+f,則,解得,∴直線RS的解析式為y=﹣3x+2;(3)∵點B(﹣2,b),∴點P為AB的中點,連接PC,過點C作CG⊥x軸于點G,∵△ABC是等腰直角三角形,∴PC=PA=AB,PC⊥AP,∴∠CPG+∠APO=90°,∠APO+∠PAO=90°,∴∠CPG=∠PAO,在△APO與△PCG中,,∴△APO≌△PCG(AAS),∴PG=AO=3,CG=PO,∵△DCE是等腰直角三角形,∴CD=DE,∠CDG+∠EDF=90°,又∵EF⊥x軸,∴∠DEF+∠EDF=90°,∴∠CDG=∠DEF,在△CDG與△EDF中,,∴△CDG≌△EDF(AAS),∴DG=EF,∴DP=PG﹣DG=3﹣EF,①2DP+EF=2(3﹣EF)+EF=6﹣EF,∴2DP+EF的值隨點P的變化而變化,不是定值,②==,的值與點D的變化無關,是定值.點評:本題綜合考查了一次函數的問題,待定系數法求直線解析式,非負數的性質,等腰直角三角形的性質,全等三角形的判定與性質,以及關于y軸對稱的點的坐標的特點,綜合性較強,難度較大,需仔細分析找準問題的突破口.文檔大全
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練習 勾股定理 全等 三角形 綜合 問題 一次函數 詳解
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