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專題13 不等式、推理與證明-三年(2017-2019)高考真題數學(文)分項匯編(解析版)

'專題13 不等式、推理與證明-三年(2017-2019)高考真題數學(文)分項匯編(解析版)'
?專題13 不等式、推理與證明1.【2019年高考全國I卷文數】古希臘時期,人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是(≈0.618,稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105 cm,頭頂至脖子下端的長度為26 cm,則其身高可能是A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm【答案】B【解析】方法一:如下圖所示.依題意可知:, 腿長為105 cm得,即,,,所以AD>169.89.②頭頂至脖子下端長度為26 cm,即AB<26,,,,,所以.綜上,.故選B.方法二:設人體脖子下端至肚臍的長為x cm,肚臍至腿根的長為y cm,則,得.又其腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故選B.【名師點睛】本題考查類比歸納與合情推理,滲透了邏輯推理和數學運算素養.采取類比法,利用轉化思想解題.2.【2019年高考全國III卷文數】記不等式組表示的平面區域為D.命題;命題.下面給出了四個命題① ② ③ ④這四個命題中,所有真命題的編號是A.①③ B.①② C.②③ D.③④【答案】A【解析】根據題中的不等式組可作出可行域,如圖中陰影部分所示,記直線,由圖可知,,所以p為真命題,q為假命題,所以為假命題,為真命題,所以為真命題,為假命題,為真命題,為假命題,所以所有真命題的編號是①③.故選A.【名師點睛】本題將線性規劃和不等式,命題判斷綜合到一起,解題關鍵在于充分利用取值驗證的方法進行判斷.3.【2019年高考北京卷文數】在天文學中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=lg,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是?26.7,天狼星的星等是?1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1【答案】A【解析】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選:A.【名師點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數對數運算.4.【2019年高考天津卷文數】設變量滿足約束條件,則目標函數的最大值為A.2 B.3 C.5 D.6【答案】D【解析】已知不等式組表示的平面區域如圖中的陰影部分. 目標函數的幾何意義是直線在軸上的截距,故目標函數在點處取得最大值. 由,得,所以.故選C.【名師點睛】線性規劃問題,首先明確可行域對應的是封閉區域還是開放區域,分界線是實線還是虛線,其次確定目標函數的幾何意義,是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等,最后結合圖形確定目標函數最值或范圍.即:一畫,二移,三求.5.【2019年高考天津卷文數】設,則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】等價于,故推不出;由能推出,故“”是“”的必要不充分條件.故選B.【名師點睛】充-省略部分-整數這個條件.35.【2017年高考天津卷文數】若,,則的最小值為___________.【答案】【解析】,(前一個等號成立的條件是,后一個等號成立的條件是,兩個等號可以同時成立,當且僅當時取等號).【名師點睛】利用均值不等式求最值時要靈活運用以下兩個公式:①,當且僅當時取等號;②,,當且僅當時取等號.解題時要注意公式的適用條件、等號成立的條件,同時求最值時注意“1的妙用”.36.【2017年高考山東卷文數】若直線過點,則2a+b的最小值為___________.【答案】【解析】由直線 過點可得,所以.當且僅當,即時等號成立.【名師點睛】應用基本不等式解題一定要注意應用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數,“二定”是指應用基本不等式求最值時,和或積為定值,“三相等”是指滿足等號成立的條件.在利用基本不等式求最值時,要根據式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數的形式,然后再利用基本不等式.37.【2017年高考江蘇卷】某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則的值是___________.【答案】30【解析】總費用為,當且僅當,即時等號成立.【名師點睛】在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用,否則會出現錯誤.38.【2017年高考天津卷文數】電視臺播放甲、乙兩套連續劇,每次播放連續劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續劇時,連續劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示:連續劇播放時長(分鐘)廣告播放時長(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525已知電視臺每周安排的甲、乙連續劇的總播放時間不多于600分鐘,廣告的總播放時間不少于30分鐘,且甲連續劇播放的次數不多于乙連續劇播放次數的2倍.分別用,表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續劇的次數.(Ⅰ)用,列出滿足題目條件的數學關系式,并畫出相應的平面區域;(Ⅱ)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續劇各多少次,才能使收視人次最多?【答案】(I)見解析;(II)見解析.【解析】(Ⅰ)由已知,滿足的數學關系式為,即.該二元一次不等式組所表示的平面區域為圖1中陰影部分內的整點(包括邊界):(圖1) (圖2)(Ⅱ)設總收視人次為萬,則目標函數為.考慮,將它變形為,這是斜率為,隨變化的一族平行直線.為直線在軸上的截距,當取得最大值時,的值最大.又因為滿足約束條件,所以由圖2可知,當直線經過可行域上的點M時,截距最大,即最大.解方程組得點M的坐標為,所以,電視臺每周播出甲連續劇6次、乙連續劇3次時才能使總收視人次最多.【名師點睛】本題主要考查簡單的線性規劃.解決此類問題的關鍵是正確畫出不等式組表示的平面區域,然后根據目標函數的幾何意義求最值.求目標函數的最值的一般步驟為:一畫、二移、三求,其關鍵是準確作出可行域,理解目標函數的幾何意義.常見的目標函數有:①截距型:形如,求這類目標函數的最值常將函數轉化為直線的斜截式:,通過求直線的截距的最值間接求出的最值;②距離型:形如;③斜率型:形如.本題屬于截距型,同時應注意實際問題中的最優解一般是整數.26
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三年 2019 2017 高考 證明 推理 數學 不等式 分項 13
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