考點04 函數及其表示-備戰2020年高考數學(文)考點一遍過

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?考點04 函數及其表示(1)了解構成函數的要素,會求一些簡單函數的定義域和值域;了解映射的概念.(2)在實際情境中,會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.(3)了解簡單的分段函數,并能簡單應用.一、函數的概念1.函數與映射的相關概念(1)函數與映射的概念函數映射兩個集合A、B設A、B是兩個非空數集設A、B是兩個非空集合對應關系按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應按某一個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應名稱稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數稱f:A→B為從集合A到集合B的一個映射記法y=f(x),x∈Af:A→B注意:判斷一個對應關系是否是函數關系,就看這個對應關系是否滿足函數定義中“定義域內的任意一個自變量的值都有唯一確定的函數值”這個核心點.(2)函數的定義域、值域在函數y=f(x),x∈A中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數的定義域,與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.(3)構成函數的三要素函數的三要素為定義域、值域、對應關系.(4)函數的表示方法函數的表示方法有三種:解析法、列表法、圖象法.解析法:一般情況下,必須注明函數的定義域;列表法:選取的自變量要有代表性,應能反映定義域的特征;圖象法:注意定義域對圖象的影響.2.必記結論(1)相等函數如果兩個函數的定義域相同,并且對應關系完全一致,則這兩個函數相等.①兩個函數是否是相等函數,取決于它們的定義域和對應關系是否相同,只有當兩個函數的定義域和對應關系完全相同時,才表示相等函數.②函數的自變量習慣上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x?1,g(t)=2t?1,h(m)=2m?1均表示相等函數.(2)映射的個數若集合A中有m個元素,集合B中有n個元素,則從集合A到集合B的映射共有個.二、函數的三要素1.函數的定義域函數的定義域是使函數解析式有意義的自變量的取值范圍,常見基本初等函數定義域的要求為:(1)分式函數中分母不等于零.(2)偶次根式函數的被開方式大于或等于0.(3)一次函數、二次函數的定義域均為R.(4)y=x0的定義域是{x|x≠0}.(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx的定義域均為R.(6)y=logax(a>0且a≠1)的定義域為(0,+∞).(7)y=tanx的定義域為.2.函數的解析式(1)函數的解析式是表示函數的一種方式,對于不是y=f(x)的形式,可根據題目的條件轉化為該形式.(2)求函數的解析式時,一定要注意函數定義域的變化,特別是利用換元法(或配湊法)求出的解析式,不注明定義域往往導致錯誤.3.函數的值域函數的值域就是函數值構成的集合,熟練掌握以下四種常見初等函數的值域:(1)一次函數y=kx+b(k為常數且k≠0)的值域為R.(2)反比例函數(k為常數且k≠0)的值域為(?∞,0)∪(0,+∞).(3)二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c為常數且a≠0),當a>0時,二次函數的值域為;當a<0時,二次函數的值域為.求二次函數的值域時,應掌握配方法:.(4)y=sinx的值域為[?1,1].-省略部分-圖象,采用數形結合的方法進行求解.5.【答案】[2,+∞)【解析】要使函數有意義,則需,解得,即函數的定義域為.【名師點睛】求給定函數的定義域往往需轉化為解不等式(組)的問題.求解本題時,根據偶次根式下被開方數非負列不等式,解對數不等式得函數定義域.6.【答案】【解析】根據題意有,可得,所以,故答案是.【名師點睛】該題考查的是有關已知某個自變量對應函數值的大小,來確定有關參數值的問題,在求解的過程中,需要將自變量代入函數解析式,求解即可得結果,屬于基礎題目.7.【答案】(1,4) 【解析】由題意得或,所以或,即,故不等式f(x)<0的解集是當時,,此時,即在上有兩個零點;當時,,由在上只能有一個零點得.綜上,的取值范圍為.【名師點睛】根據分段函數,轉化為兩個不等式組,分別求解,最后求并集.先討論一次函數零點的取法,再對應確定二次函數零點的取法,即得參數的取值范圍.已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路:(1)直接法:直接根據題設條件構建關于參數的不等式,再通過解不等式確定參數范圍;(2)分離參數法:先將參數分離,轉化成求函數值域問題加以解決;(3)數形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數的圖象,然后數形結合求解.8.【答案】[,2]【解析】分類討論:①當時,即:,整理可得:,由恒成立的條件可知:,其中,結合二次函數的性質可知:當時,,則;②當時,即:,整理可得:,由恒成立的條件可知:,其中,結合二次函數的性質可知:當或時,,則.綜合①②可得的取值范圍是.【名師點睛】由題意分類討論和兩種情況,結合恒成立的條件整理計算即可求得最終結果.對于恒成立問題,常用到以下兩個結論:(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有關二次函數的問題,數形結合,密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法.一般從:①開口方向;②對稱軸位置;③判別式;④端點函數值符號四個方面進行分析.9.【答案】【解析】由得函數的周期為4,所以因此【名師點睛】(1)求分段函數的函數值,要先確定要求值的自變量屬于哪一段區間,然后代入該段的解析式求值,當出現的形式時,應從內到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值,先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上,然后求出相應自變量的值,切記代入檢驗,看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍.10.【答案】【解析】由,即,得,根據幾何概型的概率計算公式得的概率是.11.【答案】【解析】要使函數有意義,則,即,.故填.12.【答案】【解析】令,當時,;當時,;當時,,寫成分段函數的形式:,函數在區間三段區間內均單調遞增,且,可知x的取值范圍是.【名師點睛】(1)求分段函數的函數值,要先確定要求值的自變量屬于哪一段區間,然后代入該段的解析式求值,當出現f(f(a))的形式時,應從內到外依次求值.(2)當給出函數值求自變量的值時,先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上,然后求出相應自變量的值,切記要代入檢驗,看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍.13.【答案】【解析】由題意得到關于x的不等式,解不等式可得函數的定義域.由已知得,即,解得,故函數的定義域為.【名師點睛】求函數的定義域,其實質就是以函數解析式有意義為準則,列出不等式或不等式組,然后求出它們的解集即可.24
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